Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt

Es sei

$g=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n$

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius  $R>0$. 

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

$\tilde{g}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(z-a{)}^{n-1}$

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe $g$ dargestellte Funktion $f$ ist in jedem Punkt  $z\in U(a,R)$  differenzierbar mit

$f^{\prime }(z)=\tilde{g}(z).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen