Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt

Es sei

$g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}$

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe ${}g$ dargestellte Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt ${}z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit

$f'(z)={\tilde {g}}(z).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen