Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {ax } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R } {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{x} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe verwendet die reelle Sinusfunktion, die wir später einführen werden. Im Moment muss man nur wissen, dass sie stetig und periodisch ist und dass sich ihre Werte zwischen $-1$ und $1$ bewegen.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0 \, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}} { }
definierte Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist. Ist der Graph dieser Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{T \subseteq \R}{} eine Teilmenge und sei \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{x \in T}{} ein Punkt mit
\mathl{f(x) >0}{.} Zeige, dass dann auch
\mathl{f(y) >0}{} für alle
\mathl{y \in T}{} aus einem nichtleeren \definitionsverweis {offenen Intervall}{}{} $]x- \delta, x + \delta[$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a < b < c$ \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} und es seien \maabbdisp {g} {[a,b]} {\R } {} und \maabbdisp {h} {[b,c]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit $g (b) = h(b)$. Zeige, dass dann die Funktion \maabbdisp {f} {[a,c]} {\R } {} mit
\mathdisp {f(t) = g (t) \text{ für } t \leq b \text{ und } f(t) = h(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, für welche Punkte
\mathl{x \in \R}{} die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1 \text{ für } x \leq - 1 \, , \\ x^2 \text{ für } - 1< x < 2 \, , \\ -2x+7 \text{ für } x \geq 2 \, , \end{cases}} { }
definierte Funktion \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
nur im Nullpunkt stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T \subseteq \R$ eine endliche Teilmenge und \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Folge
\mathdisp {x_n = 5 \left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^3-4\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^2+2\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)-3} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} {{ \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\} }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} sei durch
\mathdisp {f { \left( { \frac{ 1 }{ n } } \right) } = x_n \text{ und } f(0)=x} { }
festgelegt. Zeige, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen $x$ konvergiert.

}
{} {}

Die nächsten beiden Aufgaben verwenden folgende Definition.

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {f} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zu einer \definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mathl{S \subseteq L}{} heißt die Abbildung \maabbeledisp {} {S} {M } {x} {f(x) } {,} die \definitionswort {Einschränkung der Abbildung}{} auf die Teilmenge $S$.

Die Einschränkung wird mit $f{{|}}_S$ bezeichnet.


\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{S \subseteq T \subseteq {\mathbb K}}{} Teilmengen. Zeige, dass zu einer stetigen Funktion \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {} auch die Einschränkung
\mathl{f{{|}}_S}{} stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R } {,} derart, dass es keine \zusatzklammer {endliche} {} {} Zerlegung
\mathl{0=a_0 <a_1 < \cdots < a_{n-1} < a_n=1}{} des Intervalls
\mathl{[0,1]}{} gibt, so dass die Einschränkungen
\mathl{f {{|}}_{]a_{i-1}, a_i]}}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge und sei
\mathl{a \in {\mathbb K}}{} ein Punkt. Es sei \maabb {f} {T} { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} und
\mathl{b \in {\mathbb K}}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) = b} { . }
} {Für jedes
\mathl{\epsilon >0}{} gibt es ein
\mathl{\delta >0}{} derart, dass für alle
\mathl{x \in T}{} mit
\mathl{d(x,a) \leq \delta}{} die Abschätzung
\mathl{d(f(x),b) \leq \epsilon}{} folgt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ 2x^3+3x^2-1}{ x^3-x^2+x+3 }} { }
im Punkt $a=-1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine Funktion und
\mathl{a \in \R}{.} Definiere die Begriffe \anfuehrung{linksseitiger}{} und \anfuehrung{rechtsseitiger Grenzwert}{} von $f$ in $a$ sowie den Begriff \anfuehrung{Sprungstelle}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mathdisp {b_n =2a_n^4-6 a_n^3+a_n^2-5a_n+3} { , }
definierten \definitionsverweis {Folge}{}{,} wobei
\mathdisp {a_n = \frac{3n^3-5n^2+7}{4n^3+2n-1}} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1, \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
in keinem Punkt $x \in \R$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {a_n =\sqrt{ { \frac{ 2 \sqrt{n} -3 }{ 3 \sqrt{n} -2 } } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.

Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {gerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { f(-x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

Eine Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {ungerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { -f(-x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass man jede \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{g+h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer stetigen \definitionsverweis {geraden Funktion}{}{} $g$ und einer stetigen \definitionsverweis {ungeraden Funktion}{}{} $h$ schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{7}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mathl{f(\Q) \subseteq \Q}{} \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} ist.

}
{} {}