Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 13

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.


Aufgabe

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Die Folge sei rekursiv durch und

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.


Aufgabe

Bestimme direkt, für welche die Potenzfunktionen

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Es seien

stetige Funktionen. Es sei mit und mit . Zeige, dass es ein derart gibt, dass die Einschränkung die Nullfunktion ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion

(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)

Aufgabe (5 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.


Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls in sich. Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.



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