Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die genau zwei Werte annimmt.

Aufgabe

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+x-1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/100$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe

Zeige, dass die durch

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_{n}={\sqrt {\frac {7n^{2}-4}{3n^{2}-5n+2}}},\,n\in \mathbb {N} .$

Aufgabe

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei rekursiv durch ${}x_{0}=1$ und

${}x_{n+1}={\sqrt {x_{n}+1}}\,$

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

Aufgabe

Bestimme direkt, für welche ${}n\in \mathbb {N}$ die Potenzfunktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und einer stetigen Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass das Bild von ${}f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten ${}x_{1},x_{2}\in I$, ${}x_{1}<x_{2}$, lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ mindestens ein lokales Minimum besitzt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow [0,1[$

eine stetige Funktion. Zeige, dass ${}f$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

stetige Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ mit ${}f(a)\neq 0$ und es gebe ein ${}\epsilon >0$ mit ${}(fg){|}_{[a-\epsilon ,a+\epsilon ]}=0$. Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass die Einschränkung ${}g{|}_{[a-\delta ,a+\delta ]}$ die Nullfunktion ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}+3x-5.$

(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)

Aufgabe (5 Punkte)

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/200$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_{n}={\sqrt[{3}]{\frac {27n^{3}+13n^{2}+n}{8n^{3}-7n+10}}},\,n\in \mathbb {N} .$

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Ein Element ${}x\in M$ mit ${}f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [a,b]$

eine stetige Funktion des Intervalls ${}[a,b]$ in sich. Zeige, dass ${}f$ einen Fixpunkt besitzt.