Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und \maabb {F} {L} {M } {} und \maabb {G} {M} {N } {} \definitionsverweis {surjektive Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und \maabb {F} {L} {M } {} und \maabb {G} {M} {N } {} \definitionsverweis {injektive Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} heißt \stichwort {streng wachsend} {,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2 }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 }
{ < }{ x_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f (x_1) }
{ < }{ f(x_2 ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {m} {und} {n} {} natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über $m$, dass aus einer \definitionsverweis {Bijektion}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\{ 1, \ldots , m\}} {\{ 1, \ldots , n\} } {} folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $g \circ f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch $f$ injektiv.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {} für die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R } {,} die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^3+3x^2-4 \text{ und } \psi(x)=x^2+5x-3} { }
definiert sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man mache sich die Begriffe \definitionsverweis {injektiv}{}{} und \definitionsverweis {surjektiv}{}{} an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge, die als \definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { A \uplus B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{} und der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.} Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn \mathkor {} {A} {und} {B} {} zwar eine Vereinigung von $M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine Menge. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\mathfrak {P} \, (G ) \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( G , \{0,1\} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M \times N , L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , \operatorname{Abb} \, { \left( N , L \right) } \right) }} { . }

}
{Man mache sich diese Situation für $M=N=[0,1]$ und $L= \R$ klar.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {F} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Urbild}{}{}nehmen \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) } { \mathfrak {P} \, (L ) } { T } { F^{-1}(T) } {,} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige Teilmengen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ T,T_1,T_2 }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {:} \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(T_1 \cap T_2) }
{ =} { F^{-1} (T_1) \cap F^{-1} (T_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(T_1 \cup T_2) }
{ =} { F^{-1} (T_1) \cup F^{-1} (T_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(M \setminus T) }
{ =} { L \setminus F^{-1} (T) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {F} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (L ) } { \mathfrak {P} \, (M )} {S} {F(S) } {,} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige Teilmengen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ S,S_1,S_2 }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {:} \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F (S_1 \cap S_2) }
{ \subseteq }{ F (S_1) \cap F (S_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(S_1 \cup S_2) }
{ = }{ F(S_1) \cup F (S_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(L \setminus S) }
{ \supseteq }{ F(L) \setminus F (S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}} Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) } { \mathfrak {P} \, (L ) } { T } { F^{-1}(T) } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (M )} {\mathfrak {P} \, (L ) } {T} {F^{-1}(T) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {a-b } {.} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {} für die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R } {,} die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^4+3x^2-2x+5 \text{ und } \psi(x)=2x^3-x^2+6x-1} { }
definiert sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $g \circ f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, so ist auch $g$ surjektiv.

}
{Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {M} {M } {x} {\varphi(x) } {,} die durch die Wertetabelle \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {6} {1} {4} }
{\mazeileunddrei {3} {7} {7} } gegeben ist. Berechne $\varphi^{1003}$, also die $1003$-te \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \zusatzklammer {oder \stichwort {Iteration} {}} {} {} von $\varphi$ mit sich selbst.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen. Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} {\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( \mathfrak {P} \, (M ) , \mathfrak {P} \, (L ) \right) } } {f} { f^{-1}} {,} bei der einer Abbildung das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} zugeordnet wird.

a) Zeige, dass $\Psi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \neq }{\emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\Psi$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}