Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 3

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in , dass die durch

definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten.


Aufgabe

Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

nicht gilt.


Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.


Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Körperelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.


Aufgabe

Skizziere den Graphen der reellen Addition

und den Graphen der reellen Multiplikation


Aufgabe *

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Aufgabe

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?


Aufgabe

Man erläutere die Uhrzeitangaben „halb fünf“, „viertel fünf“, „drei viertel fünf“. Was würde „ein sechstel fünf“ und „drei siebtel fünf“ bedeuten?


Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

erfüllen.


Aufgabe

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind.


Aufgabe

Beweise die Formel


Aufgabe *

Es sei eine -elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Aufgabe *

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige für einen Körper die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ist die Abbildung

bijektiv.

(2) Für jedes , , ist die Abbildung

bijektiv.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die „Rechenregel“

bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Menge

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

der Addition

und der Multiplikation

Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel



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