Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsliste
Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der beiden Mengen.
Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
aus.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit
gibt.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung
die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .
Es seien und Mengen und
und
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt
das Bild von unter . Für heißt
das Bild der Abbildung.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt
das Urbild von unter . Für eine einelementige Teilmenge heißt
das Urbild von .
Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung
gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.
Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung
und einem neutralen Element gegeben. Dann heißt zu einem Element ein Element inverses Element (zu ). wenn die Gleichheit
gilt.
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
gilt
- Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle
gilt
- Zu jedem
gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
mit
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
- Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
- Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
- Distributivgesetz: Für alle gilt .
Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit bezeichnet.
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von (sprich Fakultät).
Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über “.
Es seien und Mengen. Eine Relation zwischen und ist eine Teilmenge .
Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Aus und folgt stets .
- Aus und folgt .
Eine Ordnungsrelation auf einer Menge heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.
Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften
- Aus folgt (für beliebige ),
- Aus und folgt (für beliebige ),
erfüllt.
Es sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.
Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
gibt.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und . Die Gaußklammer von ist durch
definiert.
Es sei eine Menge. Eine Abbildung
nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form
geschrieben.
Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.
Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge.
- Ein Element heißt eine obere Schranke für , wenn für alle gilt.
- Ein Element heißt eine untere Schranke für , wenn für alle gilt.
- heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für existiert.
- heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für existiert.
- heißt beschränkt, wenn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
- Ein Element heißt das Maximum von , wenn für alle gilt.
- Ein Element heißt das Minimum von , wenn für alle gilt.
- Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
- Eine untere Schranke von heißt das Infimum von , wenn für alle unteren Schranken von gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge
eine Teilfolge der Folge.
Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper . Ein Element heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
Eine Folge in einem angeordneten Körper heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit
gibt. Sie heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit
gibt.
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Dann heißt die Folge wachsend, wenn ist für alle , und streng wachsend, wenn ist für alle . Die Folge heißt fallend, wenn ist für alle und streng fallend, wenn ist für alle .
Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Ein angeordneter Körper heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert (also in einen Grenzwert besitzt).
Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit bezeichnet.
Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
gegen konvergiert.
Die reelle Zahl
heißt Eulersche Zahl.
Die Menge mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch
definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit
bezeichnet.
Zu einer komplexen Zahl
heißt
der Realteil von und
heißt der Imaginärteil von .
Die Abbildung
heißt komplexe Konjugation.
Zu einer komplexen Zahl
ist der Betrag durch
definiert.
Es sei eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls
und nennt ihn die Summe der Reihe.
Eine Reihe
von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
konvergiert.
Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen
mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit ist .
Es sei ein Körper. Zu Polynomen , , heißt die Funktion
wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.
Zwei Mengen und heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung
Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung
gibt.
Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sie abzählbar, aber nicht endlich ist.
Es sei eine Teilmenge,
eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.
Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei
eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für jedes aus
die Abschätzung
folgt. In diesem Fall schreibt man
Es sei eine Menge und
eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn
und dass das Minimum annimmt, wenn
Es sei eine Teilmenge und sei
eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung
gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung
gilt.
Es sei eine Teilmenge,
eine Funktion. Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle mit ist .
Es sei eine Teilmenge,
eine stetige Funktion und es sei . Dann heißt eine Abbildung
eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und für alle gilt.
Es sei . Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.
Es sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion
heißt Exponentialfunktion zur Basis .
Zu Reihen und komplexer Zahlen heißt die Reihe
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe
die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .
Für jedes heißt die Reihe
die Exponentialreihe in .
Die Abbildung
heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
Für heißt
die Kosinusreihe und
die Sinusreihe zu .
Es sei eine Menge und
() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge
(in ) konvergiert.
Es sei eine Menge und
() eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
derart gibt, dass es zu jedem ein mit
gibt.
Es sei eine Menge und
eine Funktion. Dann nennt man
das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .
Für eine Potenzreihe
heißt
der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .
Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis von als
Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis von durch
definiert.
Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Teilmengen mit die Beziehung
gilt. Dabei ist . Im summierbaren Fall heißt die Summe der Familie.
Es sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem eine endliche Teilmenge derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge mit die Beziehung
gilt. Dabei ist .
Es sei offen, ein Punkt und
eine Funktion. Zu , , heißt die Zahl
der Differenzenquotient von zu und .
Es sei offen, ein Punkt und
eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben
Es sei offen und
eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt die Ableitung von in existiert. Die Abbildung
heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von .
Es sei offen und
eine Funktion. Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist. Die Ableitung
nennt man dann die -te Ableitung von .
Es sei offen und
eine Funktion. Man sagt, dass n-mal stetig differenzierbar ist, wenn n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung stetig ist.
Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
ebenfalls zu gehört.
Es sei eine Teilmenge und
eine Funktion. Dann nennt man die Menge
den Subgraphen und
den Epigraphen der Funktion.
Es sei ein Intervall und
eine Funktion. Man sagt, dass konvex ist, wenn der Epigraph konvex ist.
Es sei ein Intervall und
eine Funktion. Man sagt, dass konkav ist, wenn der Subgraph konvex ist.
Es sei
eine auf einem Intervall definierte Funktion und ein innerer Punkt von . Man sagt, dass in ein Wendepunkt von vorliegt, wenn es ein derart gibt, dass auf konvex (konkav) und auf konkav (konvex) ist.
Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall . Die Kreiszahl ist durch
definiert.
Es sei eine offene Teilmenge,
eine -mal differenzierbare Funktion und . Dann heißt
das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .
Es sei eine offene Teilmenge,
eine -oft differenzierbare Funktion und . Dann heißt
die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt .
Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen . Dann heißt eine Funktion
eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
von derart gibt, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.
Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen und sei
eine Treppenfunktion zur Unterteilung und den Werten , . Dann heißt
das Treppenintegral von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist. Eine Treppenfunktion
heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion
von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral
ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion
von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt
ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von das Oberintegral von .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von das Unterintegral von .
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
Es sei ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von über . Es wird mit
bezeichnet.
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine Riemann-integrierbare Funktion und . Dann heißt die Funktion
die Integralfunktion zu zum Startpunkt .
Es sei offen und sei
eine Funktion. Eine Funktion
heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Dann nennt man
die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ).
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt eine Funktion
auf einem (mehrpunktigen) Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Die Funktion ist differenzierbar.
- Es ist für alle .
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man
das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion
auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems
wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)
und
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)
und
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.