Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {endliche Menge}{}{}
mit $m$ Elementen und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl $k$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k
}
{ \leq} { m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige ferner, dass $T$ genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k
}
{ <} { m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {endliche Menge}{}{}
mit $m$ Elementen und es sei
\maabbdisp {} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{}
in eine weitere Menge $N$. Zeige, dass dann auch $N$ endlich ist, und dass für ihre Anzahl $n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq} { m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {endliche Mengen}{}{} mit $n$ Elementen. Zeige, dass für eine Abbildung \maabbdisp {F} {M} {N } {} die Begriffe \definitionsverweis {injektiv}{}{,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} und \definitionsverweis {bijektiv}{}{} äquivalent sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {ganzen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {irrationalen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Nehmen wir an, dass auf der Erde \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} viele Menschen leben würden, und dass jeder Mensch genau einen Euro besitzt. Finde eine \anfuehrung{Umverteilungsvorschrift}{,} die jeden Menschen zu einem Euro-Milliardär macht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der Barbier von Sevilla behauptet, dass er genau diejenigen Bürger von Sevilla rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weise nach, dass er lügt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (\N )}{} und die Menge der Abbildungen
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( \N , \mathfrak {P} \, (\N ) \right) }}{}
\definitionsverweis {gleichmächtig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} von $\N$ \definitionsverweis {gleichmächtig}{}{} zu $\R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir nennen eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} \stichwort {adressierbar} {,} wenn es einen endlichen Text \zusatzklammer {über einem fixierten endlichen Alphabet, das aus mathematischen oder sonstigen Symbolen besteht} {} {} gibt, der diese Zahl eindeutig beschreibt. Ist die Menge dieser Zahlen \definitionsverweis {abzählbar}{}{?} Was ergibt sich, wenn man das Diagonalargument aus dem Beweis zu Satz 10.13 anwendet?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {abzählbare Menge}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {endlichen}{}{} Teilmengen von $M$ abzählbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} einer Menge niemals \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die Menge der Abbildungen von $\N$ nach $\N$ die Mächtigkeit des Kontinuums besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe eine \definitionsverweis {Folge}{}{} \definitionsverweis {rationaler Zahlen}{}{} derart an, dass jede reelle Zahl ein \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} dieser Folge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die Familie der
\definitionsverweis {Kochschen Schneeflocken}{}{,}
wobei die Grundseite des gleichseitigen Ausgangsdreiecks $K_0$ das Einheitsintervall sei. Zeige, dass es
\definitionsverweis {überabzählbar}{}{}
viele Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die für jedes $K_n$ zur Kante gehören.
}
{} {}