Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl ${}k$ die Abschätzung

${}k\leq m\,$

gilt. Zeige ferner, dass ${}T$ genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn

${}k<m\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei

$M\longrightarrow N$

eine surjektive Abbildung in eine weitere Menge ${}N$. Zeige, dass dann auch ${}N$ endlich ist, und dass für ihre Anzahl ${}n$ die Abschätzung

${}n\leq m\,$

gilt.

Aufgabe *

Seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}n$ Elementen. Zeige, dass für eine Abbildung

$F\colon M\longrightarrow N$

die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen abzählbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar ist.

Aufgabe *

Nehmen wir an, dass auf der Erde abzählbar unendlich viele Menschen leben würden, und dass jeder Mensch genau einen Euro besitzt. Finde eine „Umverteilungsvorschrift“, die jeden Menschen zu einem Euro-Milliardär macht.

Aufgabe

Der Barbier von Sevilla behauptet, dass er genau diejenigen Bürger von Sevilla rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weise nach, dass er lügt.

Aufgabe *

Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ und die Menge der Abbildungen ${}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\right)}$ gleichmächtig sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Potenzmenge von ${}\mathbb {N}$ gleichmächtig zu ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Wir nennen eine reelle Zahl adressierbar, wenn es einen endlichen Text (über einem fixierten endlichen Alphabet, das aus mathematischen oder sonstigen Symbolen besteht) gibt, der diese Zahl eindeutig beschreibt. Ist die Menge dieser Zahlen abzählbar? Was ergibt sich, wenn man das Diagonalargument aus dem Beweis zu Satz 10.13 anwendet?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine abzählbare Menge. Zeige, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von ${}M$ abzählbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Potenzmenge einer Menge niemals abzählbar unendlich ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge der Abbildungen von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {N}$ die Mächtigkeit des Kontinuums besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe eine Folge rationaler Zahlen derart an, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Familie der Kochschen Schneeflocken, wobei die Grundseite des gleichseitigen Ausgangsdreiecks ${}K_{0}$ das Einheitsintervall sei. Zeige, dass es überabzählbar viele Punkte ${}\alpha \in [0,1]$ gibt, die für jedes ${}K_{n}$ zur Kante gehören.