Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in ${\mathbb K}$. Es sei $T$ eine nichtleere Menge und
\maabb {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {}
die
\definitionsverweis {konstante Funktion}{}{}
mit dem Wert $x_n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Folge ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ ist
\definitionsverweis {konvergent}{}{.}
}{Die Funktionenfolge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} ist
\definitionsverweis {punktweise konvergent}{}{.}
}{Die Funktionenfolge
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} ist
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine endliche Menge und sei \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} eine Funktionenfolge auf $T$. Zeige, das ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ genau dann \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,} wenn ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $\R$. Wir betrachten auf einem \definitionsverweis {reellen Intervall}{}{} $[a,b]$ die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[a,b]} {\R } {t} {t x_n } {.} Zeige, dass diese Funktionenfolge \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} und bestimme die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $\R$. Wir betrachten die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {\R} {\R } {t} {t x_n } {.} Zeige, dass diese Funktionenfolge \definitionsverweis {punktweise}{}{,} aber im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabb {f} { T} { \R
} {}
eine Funktion, wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ n } } f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Die Funktionenfolge $f_n$
\definitionsverweis {konvergiert punktweise}{}{}
gegen die Nullfunktion.
} {Die Konvergenz ist genau dann
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{,}
wenn $f$
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { \R} { \R
} {}
eine Funktion, wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
$f_n$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n (x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} f(x), \text{ wenn } x \in [-n,n] , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Funktionenfolge $f_n$
\definitionsverweis {punktweise}{}{}
gegen $f$ konvergiert.
} {Charakterisiere die
\definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{}
der Funktionenfolge.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die Funktionen
\maabbeledisp {f_n} {\R} {\R
} {x} {f_n(x)
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(x)
}
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ für } x \leq 0 , \\ nx \text{ für } 0 < x \leq 1/n , \\ 2- n x \text{ für } 1/n < x \leq 2/n , \\ 0, \text{ für } x > 2/n \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind, und dass diese
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\definitionsverweis {punktweise}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die
\definitionsverweis {Nullfunktion}{}{}
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und es seien
\maabbdisp {f_n,g_n,h_n} {T} { \R
} {}
\definitionsverweis {Funktionenfolgen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x)
}
{ \leq} { g_n(x)
}
{ \leq} { h_n(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Funktionenfolgen
\mathkor {} {{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( h_n \right) }_{n \in \N }} {}
seien
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{}
gegen die Grenzfunktion
\maabb {f} {T} { \R
} {.}
Zeige, dass auch
\mathl{{ \left( g_n \right) }_{n \in \N }}{} gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {} derart, dass sämtliche $f_n$ nicht \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, die Funktionenfolge aber \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen eine stetige \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktionenfolge $f_n$ auf $\R_{\geq 0}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n (x)
}
{ \defeq} { { \frac{ \left \lfloor 10^n x \right \rfloor }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Berechne die Funktionswerte
\mathl{f_n(x)}{} für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {11,793105
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{0,1,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Skizziere die Funktionen
\mathkor {} {f_1} {und} {f_2} {}
auf dem Intervall $[0,1]$.
}{Begründe, dass die $f_n$ nicht stetig sind.
}{Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
}{Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge und es sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Folge von
\definitionsverweis {gleichmäßig stetigen Funktionen}{}{,}
die
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und seien \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} und \maabbdisp {g_n} {T} { {\mathbb K} } {} zwei \definitionsverweis {gleichmäßig konvergente}{}{} \definitionsverweis {Funktionenfolgen}{}{.} Zeige, dass auch die Summenfolge \maabbeledisp {f_n+g_n} {T } { {\mathbb K} } {t} { f_n(t) +g_n(t) } {,} gleichmäßig konvergent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {komplexwertigen}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
auf $T$. Zeige, dass $M$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ \defeq} { \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius
\mathl{\geq r}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( c_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
und $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
mit dem Konvergenzradius der um
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\anfuehrung{verschobenen}{} Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }} { }
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} eine Potenzreihe mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ \in }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Folge
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
a) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
so hat die Potenzreihe unendlichen
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{.}
b) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} gegen $a > 0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ a } }}{.}
c) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} bestimmt gegen $+ \infty$
\definitionsverweis {divergiert}{}{,}
so hat die Potenzreihe den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mathl{0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, für welche komplexe Zahlen $z$ die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty n^nz^n} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} auf ${\mathbb C}$ nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $f=\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ und $g=\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }$ \definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Die Potenzreihe $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ mit $c_n =a_n+b_n$ ist konvergent auf $U { \left( 0,r \right) }$ und stellt dort die Summenfunktion $f+g$ dar. } {Die Potenzreihe $\sum _{ n= 0}^\infty d_n z^{ n }$ mit $d_n = \sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}$ ist konvergent auf $U { \left( 0,r \right) }$ und stellt dort die Produktfunktion $fg$ dar. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle geraden Indizes eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}
darstellt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle ungeraden Indizes eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{}
darstellt.
}
{} {}
Für die Umkehrung der beiden vorstehenden Aufgaben verwende man Aufgabe 16.28 weiter unten.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k z^k}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{,}
die eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}
darstelle. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_k
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle geraden Indizes ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k z^k}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{,}
die eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{}
darstelle. Zeige, dass
\mathl{c_k=0}{} für alle ungeraden Indizes ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\maabbeledisp {f_n} {I} {\R
} {x} {x^{1/n}
} {.}
Zeige, dass diese Folge für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,}
und untersuche die Folge auf
\definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{}
für die verschiedenen Definitionsmengen
\mathdisp {I=\R_{\geq 0},\, \R_+,\, [1, \infty],\, [\frac{1}{5}, 5],\, ]0,1],\, [0,1]} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 1}^\infty \frac{x^n}{n^2}} { . }
Zeige, dass diese Potenzreihe den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle
\mathbed {x \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { x } =1} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der beschränkten
\definitionsverweis {komplexwertigen}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
auf $T$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{}
auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{,}
die für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $U { \left( 0,\epsilon \right) }$
\definitionsverweis {konvergiere}{}{}
und dort die
\definitionsverweis {Nullfunktion}{}{}
darstelle. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{ \{ 0,1 , \ldots , n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
Folge
\mathdisp {{ \left( c_{in} \right) }_{ n \in \N }} { }
in ${\mathbb C}$ gegeben, deren
\definitionsverweis {Limes}{}{}
mit $c_i$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ von Polynomen vom Grad $\leq d$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ \defeq} {c_{dn}x^d + c_{d-1 \, n }x^{d-1} + \cdots + c_{2n}x^2 + c_{1 n }x +c_{0n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
$B \left( 0,r \right)$
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {c_{d}x^d + c_{d-1 }x^{d-1} + \cdots + c_{2}x^2 + c_{1 }x +c_{0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
{} {}