Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $𝕂$. Es sei $T$ eine nichtleere Menge und $f_n:T\to 𝕂$ die konstante Funktion mit dem Wert $x_n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Die Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist konvergent.
2. Die Funktionenfolge ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist punktweise konvergent.
3. Die Funktionenfolge ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist gleichmäßig konvergent.

Aufgabe

Es sei $T$ eine endliche Menge und sei

$f_n:T⟶𝕂$

eine Funktionenfolge auf $T$. Zeige, dass ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ genau dann punktweise konvergiert, wenn ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge in $ℝ$. Wir betrachten auf einem reellen Intervall $[a,b]$ die Funktionenfolge

$f_n:[a,b]⟶ℝ,t⟼t{x}_n.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.

Aufgabe *

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge in $ℝ$. Wir betrachten die Funktionenfolge

$f_n:ℝ⟶ℝ,t⟼t{x}_n.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und $f:T\to ℝ$ eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge

$f_n:=\frac{1}{n}f$

zu  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Funktionenfolge $f_n$ konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion.
2. Die Konvergenz ist genau dann gleichmäßig, wenn $f$ beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge $f_n$, die durch

$f_n(x):=\{\begin{array}{c}f(x),\text{ wenn }x\in [-n,n],\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

definiert ist.

1. Zeige, dass die Funktionenfolge $f_n$ punktweise gegen $f$ konvergiert.
2. Charakterisiere die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge.

Aufgabe

Zu  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  betrachten wir die Funktionen

$f_n:ℝ⟶ℝ,x⟼f_n(x),$

die durch

$f_n(x)=\{\begin{array}{c}0,\text{ für }x\le 0,\\ nx\text{ für }0<x\le 1/n,\\ 2-nx\text{ für }1/n<x\le 2/n,\\ 0,\text{ für }x>2/n.\end{array}$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.

Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und es seien

$f_n,g_n,h_n:T⟶ℝ$

Funktionenfolgen mit

$f_n(x)\le g_n(x)\le h_n(x)$

für alle  $x\in T$  und alle  $n\in \mathbb{N}$.  Die Funktionenfolgen ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(h_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ seien gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion $f:T\to ℝ$. Zeige, dass auch ${\left(g_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

$f_n:ℝ⟶ℝ$

derart, dass sämtliche $f_n$ nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.

Aufgabe *

Wir betrachten für  $n\in \mathbb{N}$  die Funktionenfolge $f_n$ auf ${ℝ}_{\ge 0}$ mit

$f_n(x):=\frac{\lfloor 10^{n}x\rfloor }{10^n}.$

1. Berechne die Funktionswerte $f_n(x)$ für

   $x=11,793105$

   und für  $n=0,1,2$. 

2. Skizziere die Funktionen $f_1$ und $f_2$ auf dem Intervall $[0,1]$.
3. Begründe, dass die $f_n$ nicht stetig sind.
4. Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
5. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe *

Es sei $T\subseteq 𝕂$ eine Teilmenge und es sei

$f_n:T⟶𝕂$

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe *

Es sei $T$ eine Menge und seien

$f_n:T⟶𝕂$

und

$g_n:T⟶𝕂$

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

$f_n+g_n:T⟶𝕂,t⟼f_n(t)+g_n(t),$

gleichmäßig konvergent ist.

Aufgabe

Es sei $T$ eine Menge und

$M=\{f:T\to ℂ\mid \Vert f{\Vert }_T<\mathrm{\infty }\}$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf $T$. Zeige, dass $M$ ein komplexer Vektorraum ist.

Aufgabe *

Es sei

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius  $r>0$.  Es sei  $I\subseteq \mathbb{N}$  eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{z}^n$

mit

$b_n:=\{\begin{array}{c}{a}_n,\text{ falls }n\in I,\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius $\ge r$ ist.

Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der geometrischen Reihe.

Aufgabe

Es sei ${\left(c_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von komplexen Zahlen und $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um  $a\in ℂ$  „verschobenen“ Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$

übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ eine Potenzreihe mit  $c_n\in ℂ\setminus \{0\}$.  Wir betrachten die Folge $\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn $\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}$ gegen $0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius.

b) Wenn $\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}$ gegen  $a>0$  konvergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius $\frac{1}{a}$.

c) Wenn $\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}$ bestimmt gegen $+\mathrm{\infty }$ divergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius $0$.

Aufgabe *

Bestimme, für welche komplexe Zahlen $z$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{n}^n{z}^n$

konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialreihe auf $ℂ$ nicht gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es seien  $f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$  und  $g=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{z}^n$  Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ mit  $c_n=a_n+b_n$  ist konvergent auf $U(0,r)$ und stellt dort die Summenfunktion $f+g$ dar.
2. Die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n{z}^n$ mit  $d_n=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$  ist konvergent auf $U(0,r)$ und stellt dort die Produktfunktion $fg$ dar.

Aufgabe *

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ mit  $c_n=0$  für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.

Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ mit  $c_n=0$  für alle ungeraden Indizes eine gerade Funktion darstellt.

Für die Umkehrung der beiden vorstehenden Aufgaben verwende man Aufgabe 16.28 weiter unten.

Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{z}^k$ eine konvergente Potenzreihe, die eine ungerade Funktion darstelle. Zeige, dass  $c_k=0$  für alle geraden Indizes ist.

Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{z}^k$ eine konvergente Potenzreihe, die eine gerade Funktion darstelle. Zeige, dass  $c_k=0$  für alle ungeraden Indizes ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Funktionenfolge

$f_n:I⟶ℝ,x⟼x^{1/n}.$

Zeige, dass diese Folge für  $I={ℝ}_{\ge 0}$  punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen

$I={ℝ}_{\ge 0},{ℝ}_{+},[1,\mathrm{\infty }],[\frac{1}{5},5],]0,1],[0,1].$

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2}.$

Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius $1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle $x\in ℂ$, $|x|=1$, konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $T$ eine Menge und

$M=\{f:T\to ℂ\mid \Vert f{\Vert }_T<\mathrm{\infty }\}$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf $T$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1.  $\Vert f\Vert \ge 0$  für alle  $f\in M$. 
2.  $\Vert f\Vert =0$  genau dann, wenn  $f=0$  ist.
3. Für  $\lambda \in ℂ$  und  $f\in M$  gilt

   $\Vert \lambda f\Vert =|\lambda |\cdot \Vert f\Vert .$

4. Für  $g,f\in M$  gilt

   $\Vert g+f\Vert \le \Vert g\Vert +\Vert f\Vert .$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$

eine Potenzreihe, die für ein  $ϵ>0$  auf $U(0,ϵ)$ konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann  $c_n=0$  für alle  $n\in \mathbb{N}$  ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $d\in \mathbb{N}$  und sei für jedes  $i\in \{0,1,\dots ,d\}$  eine konvergente Folge

${\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

in $ℂ$ gegeben, deren Limes mit $c_i$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ von Polynomen vom Grad $\le d$, die durch

$f_n:=c_{dn}{x}^d+c_{d-1n}{x}^{d-1}+\cdots +c_{2n}{x}^2+c_{1n}x+c_{0n}$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe $B(0,r)$ gleichmäßig gegen

$f=c_d{x}^d+c_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +c_2{x}^2+c_{1}x+c_0$

konvergiert.