Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine positive
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^x
}
{ =} { \exp \left( x \cdot \ln b \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {a^z
} {,}
zur Basis
\mathl{a \in \R_+}{} die folgenden Rechenregeln gelten
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{a,b \in \R_+}{} und \mathlk{z,w \in {\mathbb C}}{,} bei (4) sei zusätzlich \mathlk{z \in \R}{}} {} {.}
\aufzaehlungvier{
\mathl{a^{z+w} = a^z \cdot a^w}{.}
}{
\mathl{a^{-z} = { \frac{ 1 }{ a^z } }}{.}
}{
\mathl{(ab)^z = a^z b^z}{.}
}{
\mathl{(a^z)^w = a^{zw}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathkor {} {\log_b { \left( b^x \right) } =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,}
das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur
\definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{} $b$.
}{Es gilt
\mathl{\log_{ b } (y \cdot z) = \log_{ b } y + \log_{ b } z}{}
}{Es gilt
\mathl{\log_{ b } y^u = u \cdot \log_{ b } y}{} für
\mathl{u \in \R}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y
}
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) }
}
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } }
}
{ =} { \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
}{Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{} keine Exponentialfunktion sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,d
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $d$ fixiert. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ b \rightarrow 0 } \, b^d
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert $z$ und
\mathl{{ \left( a_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert $a$. Zeige, dass die durch
\mathl{w_n = a_n^{z_n}}{} definierte Folge gegen
\mathl{a^z}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert $z$ und
\mathl{{ \left( a_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert $0$. Zeige durch ein Beispiel, dass die durch
\mathl{w_n = a_n^{z_n}}{} definierte Folge nicht konvergieren muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
und $J \subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie
\mathbed {a_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {a_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{.}
Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist, wenn die Familie der
\definitionsverweis {Realteile}{}{}
\mathbed {\operatorname{Re} \, { \left( a_j \right) }} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
und die Familie der
\definitionsverweis {Imaginärteile}{}{}
\mathbed {\operatorname{Im} \, { \left( a_j \right) }} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j \in J} a_j
}
{ =} { ( \sum_{ j \in J}
\operatorname{Re} \, { \left( a_j \right) }) + { \mathrm i} ( \sum_{ j \in J} \operatorname{Im} \, { \left( a_j \right) })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Die Betragsfamilie
\mathbed {\betrag { a_i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
sei
\definitionsverweis {summierbar}{}{.}
Zeige, dass
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Die Familie
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
sei
\definitionsverweis {summierbar}{}{.}
Zeige, dass
\mathbed {\betrag { a_i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist.
}
{} {Tipp: Man zeige dieses Resultat zuerst für reelle Familien und ziehe dann
Aufgabe 17.11
heran.}
Für Familien, anders als wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Zeige, dass diese Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist, wenn die Familie
\mathdisp {\betrag { a_E } = \betrag { \sum_{ i \in E} a_i } , E \subseteq I,\, E \text{ endlich}} { , }
\definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form $n^k$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,k
}
{ \in }{ \N_{\geq 2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.}
Berechne zur
\definitionsverweis {summierbaren Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
die Teilsummen
\mathdisp {s_k = \sum_{\ell \in \N} z^k z^\ell} { }
zu jedem $k \in \N$ und berechne $\sum_{k \in \N} s_k$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.}
Zu $j \in \Z$ sei
\mathdisp {I_j= { \left\{ (k, \ell) \in \N^2 \mid k-\ell = j \right\} }} { . }
Berechne zu jedem $j \in \Z$ zur
\definitionsverweis {summierbaren Familie}{}{}
\mathdisp {z^k z^\ell, \, (k, \ell) \in \N^2} { , }
die Teilsummen
\mathdisp {t_j = \sum_{(k, \ell) \in I_j } z^k z^\ell} { }
und berechne $\sum_{j \in \Z} t_j$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die Familie
\mathdisp {\frac{1}{q^2}, \, q \in \Q\, \cap \, [2,3]} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Familie
\mathbeddisp {{ \frac{ k^n }{ n! } }} {}
{(k,n) \in \N \times \N} {}
{} {} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass diese Familie nicht
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist die Teilfamilie
\mathbeddisp {{ \frac{ k^n }{ n! } }} {}
{(k,n) \in \N \times \N} {}
{k \leq \alpha} {} {} {,}
summierbar?
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist die Teilfamilie
\mathbeddisp {{ \frac{ k^n }{ n! } }} {}
{(k,n) \in \N \times \N} {}
{k \leq \beta n} {} {} {,}
summierbar?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koeffizienten $d_0 , \ldots , d_3$ der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{} im \definitionsverweis {Entwicklungspunkt}{}{} ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.
}
{} {(Für $d_1$ ist es hilfreich, eine Formel für $\sum_{n=k}^\infty z^n$ aufzustellen. Für $d_2, d_3$ wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül haben wir bald eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen. Dieser beruht für Potenzreihen allerdings auf dem Entwicklungssatz.)}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathbed {a_{ k }} {}
{k \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
Zeige, dass diese Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
\definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\maabb {f} { \Q} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,}
aber nicht die Nullfunktion. Zeige, dass die Wertefamilie
\mathbed {f(q)} {}
{q \in \Q} {}
{} {} {} {,}
nicht
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $M \subseteq \N_+$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine $9$ vorkommt. Zeige, dass
\mathdisp {\sum_{n \in M} \frac{1}{n}} { }
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme, ob die Familie
\mathdisp {\frac{1}{a^2+b^2}, \, a,b \in \N_+} { , }
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $I$ eine Indexmenge und
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{} von
\definitionsverweis {nichtnegativen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathdisp {J = { \left\{ i \in I \mid a_i \neq 0 \right\} }} { }
\definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die Koeffizienten $d_0 , \ldots , d_6$ der \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} im \definitionsverweis {Entwicklungspunkt}{}{} $1$.
}
{} {}