Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 17

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}b>0$ eine positive reelle Zahl. Zeige für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}b^{x}=\exp \left(x\cdot \ln b\right)\,.$

Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto a^{z},$

zur Basis ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $z,w\in {\mathbb {C} }$, bei (4) sei zusätzlich $z\in \mathbb {R}$).

1. ${}a^{z+w}=a^{z}\cdot a^{w}$.
2. ${}a^{-z}={\frac {1}{a^{z}}}$.
3. ${}(ab)^{z}=a^{z}b^{z}$.
4. ${}(a^{z})^{w}=a^{zw}$.

Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es ist ${}\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Aufgabe *

1. Zeige die Gleichheit

   ${}\vert {\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert }\vert =\vert {\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert }\vert \,.$

2. Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
3. Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?

Aufgabe *

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.

Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe

Es seien ${}b,d>0$ und ${}d$ fixiert. Zeige

${}\operatorname {lim} _{b\rightarrow 0}\,b^{d}=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert ${}z$ und ${}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert ${}a$. Zeige, dass die durch ${}w_{n}=a_{n}^{z_{n}}$ definierte Folge gegen ${}a^{z}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert ${}z$ und ${}{\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert ${}0$. Zeige durch ein Beispiel, dass die durch ${}w_{n}=a_{n}^{z_{n}}$ definierte Folge nicht konvergieren muss.

Aufgabe

Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie ${}a_{i}$, ${}i\in J$, summierbar ist.

Aufgabe *

Es sei ${}a_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie komplexer Zahlen. Zeige, dass die Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie der Realteile ${}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, und die Familie der Imaginärteile ${}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall

${}\sum _{j\in J}a_{j}=(\sum _{j\in J}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)})+{\mathrm {i} }(\sum _{j\in J}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)})\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie ${}\vert {a_{i}}\vert$, ${}i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass ${}a_{i}$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass ${}\vert {a_{i}}\vert$, ${}i\in I$, summierbar ist.

Tipp: Man zeige dieses Resultat zuerst für reelle Familien und ziehe dann Aufgabe 17.11 heran.

Für Familien, anders als wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie

$\vert {a_{E}}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}}\vert ,E\subseteq I,\,E{\text{ endlich}},$

nach oben beschränkt ist.

Aufgabe *

Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form ${}n^{k}$ mit ${}n,k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

summierbar ist.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Berechne zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$s_{k}=\sum _{\ell \in \mathbb {N} }z^{k}z^{\ell }$

zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ und berechne ${}\sum _{k\in \mathbb {N} }s_{k}$.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zu ${}j\in \mathbb {Z}$ sei

$I_{j}={\left\{(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}\mid k-\ell =j\right\}}.$

Berechne zu jedem ${}j\in \mathbb {Z}$ zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$t_{j}=\sum _{(k,\ell )\in I_{j}}z^{k}z^{\ell }$

und berechne ${}\sum _{j\in \mathbb {Z} }t_{j}$.

Aufgabe *

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{q^{2}}},\,q\in \mathbb {Q} \,\cap \,[2,3],$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Wir betrachten die Familie

${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} .$

1. Zeige, dass diese Familie nicht summierbar ist.
2. Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R} _{+}$. Ist die Teilfamilie

   ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,k\leq \alpha ,$

   summierbar?

3. Es sei ${}\beta \in \mathbb {R} _{+}$. Ist die Teilfamilie

   ${\frac {k^{n}}{n!}},(k,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ,k\leq \beta n,$

   summierbar?

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{3}$ der geometrischen Reihe im Entwicklungspunkt ${}{\frac {1}{2}}$.

(Für ${}d_{1}$ ist es hilfreich, eine Formel für ${}\sum _{n=k}^{\infty }z^{n}$ aufzustellen. Für ${}d_{2},d_{3}$ wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül haben wir bald eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen. Dieser beruht für Potenzreihen allerdings auf dem Entwicklungssatz.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}a_{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {Q} \rightarrow {\mathbb {K} }$ eine stetige Funktion, aber nicht die Nullfunktion. Zeige, dass die Wertefamilie ${}f(q)$, ${}q\in \mathbb {Q}$, nicht summierbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine ${}9$ vorkommt. Zeige, dass

$\sum _{n\in M}{\frac {1}{n}}$

summierbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{a^{2}+b^{2}}},\,a,b\in \mathbb {N} _{+},$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge

$J={\left\{i\in I\mid a_{i}\neq 0\right\}}$

abzählbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{6}$ der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt ${}1$.