Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 36/latex
\setcounter{section}{36}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {,} die \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} sei. Zeige, dass $f$ auch \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} mit \definitionsverweis {Lipschitz-Konstante}{}{} $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {W } {} zwischen \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{,} die zugleich eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} sei. Zeige, dass dann die Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {f(x)-x } {,} streng fallend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {wachsende}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ \leq} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \R}{} und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_{\leq 0} } {\R_{\leq 0}
} {x} { e^x -1
} {.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $0$ der einzige
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
von $f$ ist.
}{Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{}
mit
\definitionsverweis {Lipschitz-Konstante}{}{}
$1$ ist.
}{Zeige, dass $f$ keine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
ist.
}{Zeige, dass zu jedem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R_{\leq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die rekursiv definierte Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq }{ f(x_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$, die einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} besitze. Zeige, dass die Folge \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{}
und es sei $L \times M$ mit der
\definitionsverweis {Produktmetrik}{}{}
versehen. Zeige, dass eine Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_n
}
{ =} { (x_n,y_n)
}
{ \in} { L \times M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist, wenn die beiden Komponentenfolgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
Cauchy-Folgen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {euklidische Raum}{}{} $\R^n$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$ mit dem Grenzwert $x$. Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} } \cup \{x\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit der
\definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und es sei
\maabbdisp {F} {M} {M} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt, wenn der Durchschnitt des
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von $F$ mit der
\definitionsverweis {Diagonalen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ = }{ { \left\{ (x,x) \in M \times M \mid x \in M \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht leer ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.
\matabelledreineun {\leitzeileunddrei {Jahr} {Gastgeber} {Weltmeister} } {\madoppelzeileunddrei {1970} {\text{Mexiko}} {\text{Brasilien}} {1974} {\text{Deutschland}} {\text{Deutschland}} }
{\madoppelzeileunddrei {1982} {\text{Spanien}} {\text{Italien}} {1990} {\text{Italien}} {\text{Deutschland}} }
{\madoppelzeileunddrei {1994} {\text{USA}} {\text{Brasilien}} {2002} {\text{Japan und Korea}} {\text{Brasilien}} }
{\madoppelzeileunddrei {2010} {\text{Südafrika}} {\text{Spanien}} {2014} {\text{Brasilien}} {\text{Deutschland} } {} {} {} }
Es sei $L=\{B,D,I,JuK,M,S,SA, U \}$ die Menge der Gastgeberländer und
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf $L$ eine Metrik derart, dass $L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass $\varphi$ eine starke Kontraktion ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {D= { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 0 < \Vert {(x,y)} \Vert \leq 1 \right\} }} { . }
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
\maabbdisp {f} {D} {D
} {,}
die keinen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq \R^n}{} eine nichtleere Teilmenge,
\mathl{n \geq 1}{.}
a) $T$ sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
b) $T$ sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
}
{} {}
In der folgenden Aufgaben seien die
\definitionsverweis {Homomorphismenräume}{}{}
\mathl{\operatorname{Hom} \, (V,W)}{} mit der
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi} \Vert
}
{ \defeq} {{\operatorname{sup} \, ( \Vert { \varphi(v)} \Vert , \Vert {v} \Vert = 1 ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
versehen.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen zwei
\definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
genau dann
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{}
ist, wenn
\mathl{\Vert {\varphi} \Vert < 1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
und
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und sei $M$ ein
\definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{.}
Es sei
\mathl{C}{} die Menge der
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
von $T$ nach $M$. Definiere eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{}
auf $C$ derart, dass $C$ selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
eine Abbildung. Mit
\mathl{f^{\circ n}}{} bezeichnen wir die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst.
a) Zeige, dass wenn $f$
\definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{}
ist, dass dann auch
\mathl{f^{\circ n}}{} Lipschitz-stetig ist.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung $f$, die keine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{,}
wo aber jedes
\mathl{f^{\circ n}}{} für
\mathl{n \geq 2}{} eine starke Kontraktion ist.
c) Es sei $f$ Lipschitz-stetig und es sei
\mathl{f^{\circ k}}{} eine starke Kontraktion für ein gewisses $k$. Zeige, dass es ein $n_0$ derart gibt, dass
\mathl{f^{\circ n}}{} für jedes
\mathl{n \geq n_0}{} eine starke Kontraktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge der
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.}
Zeige, dass $T$ genau dann
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
und
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, wenn $T$ ein
\definitionsverweis {abgeschlossenes}{}{,}
\definitionsverweis {beschränktes}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{T_1 \subseteq \R^n}{} und
\mathl{T_2 \subseteq \R^m}{} Teilmengen und
\mathl{T_1 \times T_2 \subseteq \R^{n+m}}{} ihre Produktmenge.
a) Zeige, dass wenn
\mathkor {} {T_1} {und} {T_2} {}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
sind, dass dann auch
\mathl{T_1 \times T_2}{} beschränkt ist.
b) Zeige, dass wenn
\mathkor {} {T_1} {und} {T_2} {}
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
sind, dass dann auch
\mathl{T_1 \times T_2}{} kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass $F$ in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
zerfällt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } { P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann vollständig ist, wenn $T$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\Q } {,} die keinen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_{ >1}} {\R
} {x} {f(x) = 1 + \ln x
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt: Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(y) }
}
{ <} { \betrag { x-y }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathbed {x,y \in \R_{>1}} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,}
aber $f$ ist nicht
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
schreiben kann.
}
{} {}