Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 36

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$, die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass ${}f$ auch gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen euklidischen Vektorräumen Lipschitz-stetig ist.

Aufgabe

Sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine wachsende Funktion, die zugleich eine starke Kontraktion sei. Zeige, dass dann die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-x,$

streng fallend ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine wachsende differenzierbare Funktion mit

${}f'(x)\leq c\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und ein ${}c<1$. Zeige, dass ${}f$ eine starke Kontraktion ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\leq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\leq 0},\,x\longmapsto e^{x}-1.$

1. Zeige, dass ${}0$ der einzige Fixpunkt von ${}f$ ist.
2. Zeige, dass ${}f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}1$ ist.
3. Zeige, dass ${}f$ keine starke Kontraktion ist.
4. Zeige, dass zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{\leq 0}$ die rekursiv definierte Folge ${}x_{n+1}:=f(x_{n})$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum ${}M$, die einen Häufungspunkt besitze. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es sei ${}L\times M$ mit der Produktmetrik versehen. Zeige, dass eine Folge

${}z_{n}=(x_{n},y_{n})\in L\times M\,$

genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn die beiden Komponentenfolgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folgen sind.

Aufgabe

Zeige, dass der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ vollständig ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem metrischen Raum ${}M$ mit dem Grenzwert ${}x$. Zeige, dass die Teilmenge

${}T={\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}\cup \{x\}\,$

(mit der induzierten Metrik) vollständig ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei

$F\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von ${}F$ mit der Diagonalen ${}\triangle ={\left\{(x,x)\in M\times M\mid x\in M\right\}}$ nicht leer ist.

Aufgabe *

Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.

Jahr	Gastgeber	Weltmeister
${}1970$	${}{\text{Mexiko}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}1974$	${}{\text{Deutschland}}$	${}{\text{Deutschland}}$
${}1982$	${}{\text{Spanien}}$	${}{\text{Italien}}$
${}1990$	${}{\text{Italien}}$	${}{\text{Deutschland}}$
${}1994$	${}{\text{USA}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2002$	${}{\text{Japan und Korea}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2010$	${}{\text{Südafrika}}$	${}{\text{Spanien}}$
${}2014$	${}{\text{Brasilien}}$	${}{\text{Deutschland}}$

Es sei ${}L=\{B,D,I,JuK,M,S,SA,U\}$ die Menge der Gastgeberländer und

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf ${}L$ eine Metrik derart, dass ${}L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass ${}\varphi$ eine starke Kontraktion ist?

Aufgabe

Es sei

$D={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0<\Vert {(x,y)}\Vert \leq 1\right\}}.$

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

$f\colon D\longrightarrow D,$

die keinen Fixpunkt besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere Teilmenge, ${}n\geq 1$.

a) ${}T$ sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

b) ${}T$ sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

In der folgenden Aufgaben seien die Homomorphismenräume ${}\operatorname {Hom} \,(V,W)$ mit der Norm

${}\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,$

versehen.

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen zwei euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ genau dann stark kontrahierend ist, wenn ${}\Vert {\varphi }\Vert <1$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ abgeschlossen und beschränkt und sei ${}M$ ein vollständiger metrischer Raum. Es sei ${}C$ die Menge der stetigen Abbildungen von ${}T$ nach ${}M$. Definiere eine Metrik auf ${}C$ derart, dass ${}C$ selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum und sei

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Mit ${}f^{\circ n}$ bezeichnen wir die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn ${}f$ Lipschitz-stetig ist, dass dann auch ${}f^{\circ n}$ Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung ${}f$, die keine starke Kontraktion, wo aber jedes ${}f^{\circ n}$ für ${}n\geq 2$ eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei ${}f$ Lipschitz-stetig und es sei ${}f^{\circ k}$ eine starke Kontraktion für ein gewisses ${}k$. Zeige, dass es ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass ${}f^{\circ n}$ für jedes ${}n\geq n_{0}$ eine starke Kontraktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen. Zeige, dass ${}T$ genau dann kompakt und zusammenhängend ist, wenn ${}T$ ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist.

Aufgabe *

Es seien ${}T_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ Teilmengen und ${}T_{1}\times T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n+m}$ ihre Produktmenge.

a) Zeige, dass wenn ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ beschränkt sind, dass dann auch ${}T_{1}\times T_{2}$ beschränkt ist.

b) Zeige, dass wenn ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ kompakt sind, dass dann auch ${}T_{1}\times T_{2}$ kompakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe *

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

surjektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ ein vollständiger metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann vollständig ist, wenn ${}T$ abgeschlossen ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,$

die keinen Fixpunkt besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{>1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x,$

folgende Eigenschaften besitzt: Es ist

${}\vert {f(x)-f(y)}\vert <\vert {x-y}\vert \,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R} _{>1}$, ${}x\neq y$, aber ${}f$ ist nicht stark kontrahierend.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ Lipschitz-stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${}P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad ${}1$ oder ${}2$ schreiben kann.