Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 58/latex
\setcounter{section}{58}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {\R \times [a,b]} { \R
} {(x,y)} { x^iy^j
} {.}
Wir setzen
\mathdisp {\varphi(x) = \int_a^b x^i y^j dy} { . }
Berechne
\mathl{\varphi'(x)}{} auf zwei unterschiedliche Weisen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige Satz 58.3 für die Funktion \maabbeledisp {f} {[1,2] \times \R } { \R } {(t,x)} { e^{xt} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { x^3-yx^2+7 \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne die Integrale zum Parameter
\mathl{y \in [0,\pi]}{} über
\mathl{x \in [0,1]}{} und zum Parameter
\mathl{x \in [0,1]}{} über
\mathl{y \in [0,\pi ]}{.} Bestimme jeweils die extremalen Integrale.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Nebra Scheibe.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?} }
\bildlizenz { Nebra Scheibe.jpg } {} {Dbachmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte zu
\mathl{r,s \in \R_+}{} mit
\mathl{r+s > 1}{} und
\mathl{s < r+1}{} die \anfuehrung{sichelförmige}{} Menge
\mathdisp {M_{r,s} = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq r , \, \sqrt{(x-1)^2+y^2} \geq s \right\} }} { . }
Für welche $r,s$ ist diese Menge
\definitionsverweis {sternförmig}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq \R}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann ein
\zusatzklammer {nichtleeres} {} {}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
ist, wenn $T$
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_k}{}
\zusatzklammer {\mathlk{k \geq 1}{}} {} {}
endlich viele Punkte im $\R^n$. Zeige, dass
\mathl{\R^n \setminus \{P_1 , \ldots , P_k \}}{} nicht
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {offene}{}{,}
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^2}{} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für zwei
\definitionsverweis {sternförmige Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass ihr Durchschnitt $S \cap T$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
\zusatzklammer {insbesondere nicht leer} {} {}
und nicht sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere den Graphen einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} { \R_{\geq 0}
} {}
mit der Eigenschaft, dass der Subgraph
\mathl{{ \left\{ (x,y) \mid x\in \R , \, 0 \leq y \leq f(x) \right\} }}{} nicht
\definitionsverweis {konvex}{}{,}
aber
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
zur positiven Standardparabel, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid x\in \R_{\geq 0} , \, 0 \leq y \leq x^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $S$ nicht
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} { \R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Subgraph}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid a \leq x \leq b , \, 0 \leq y \leq f(x) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 } {(x,y)} { \left( { \frac{ -2x^2 +2y^4 }{ { \left( x^2+y^4 \right) }^2 } } , \, { \frac{ 8xy^3 }{ { \left( x^2+y^4 \right) }^2 } } \right) } {,} die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 } {(x,y)} { \left( { \frac{ -2x^2 +2y^4 }{ { \left( x^3+y^3 \right) }^2 } } , \, { \frac{ 8xy^3 }{ { \left( x^3+y^3 \right) }^2 } } \right) } {,} die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { \left( 2x-y \cos x , \, - \sin x \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.
}
{} {}
Ob ein Vektorfeld auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{}
erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.
Zu einem
\definitionsverweis {partiell differenzierbaren}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbdisp {G} {U} {\R^3
} {}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mathl{U \subseteq \R^3}{} nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) }(P)
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_2 } }(P)- { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_3 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_3 } }(P)-{ \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_1 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_1 } }(P)-{ \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_2 } }(P) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Rotation}{}
von $G$.
Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {G} {U} {\R^3
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $G$ genau dann die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{}
erfüllt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x,y,z \neq 0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( x^3-z^2 , \, { \frac{ xy }{ z } } , \, { \frac{ z }{ x^2y } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das Vektorfeld
\maabbdisp {G} {\R^2} {\R^2
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(x,y)
}
{ =} {(y, - x^3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige auf zweifache Weise, dass $G$ kein Gradientenfeld ist.
\aufzaehlungzwei {Mit der Integrabilitätsbedingung.
} {Mit Wegintegralen.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3 } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y - \cos \left( x+z \right) , \, x , \, 2z - \cos \left( x+z \right) \right) } {.}
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.
b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \times \R_{>0} } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( ye^{xy} + \ln z , \, xe^{xy} - 2yz , \, { \frac{ x }{ z } } -y^2 \right) } {.}
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.
b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und sei
\maabb {G} { U} { \R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
auf $U$. Zeige, dass das Potential zu $G$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
}{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offene
\definitionsverweis {sternförmige Mengen}{}{}
mit der Eigenschaft, dass $S \cap T$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist. Es sei
\maabbdisp {G} {S \cup T} { \R^n
} {}
ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{}
erfüllt. Zeige, dass $G$ ein Gradientenfeld ist.
}{
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {G} {\R^2
} {}
ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho (P)
}
{ \defeq} { { \frac{ \partial F_2 }{ \partial x } }(P)- { \frac{ \partial F_1 }{ \partial y } } (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho(P)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \pi } } \cdot \operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, { \frac{ 1 }{ \epsilon^2 } } \int_{\gamma_\epsilon} F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\gamma_\epsilon$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um $P$ mit Radius $\epsilon$ bezeichnet.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme, ob zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} und ob der \definitionsverweis {Epigraph}{}{} \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge. Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ T }}{} sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y e^z-3x^2z , \, xe^z+2yz , \, xye^z+y^2-x^3 \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x, y \neq 0 , \, z>0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( { \frac{ e^{3x}-z }{ y } } , \, { \frac{ \cos x }{ z^2 } } , \, { \frac{ \ln z }{ xy } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}
}
{} {}