Integration und Differentiation/Vertauschbarkeit/Intervall/Fakt

Differenzierbarkeit des Integrals

Es seien ${}I=[a,b]$ und ${}J$ reelle Intervalle,

$f\colon I\times J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine stetige Abbildung, die in Richtung der Variablen ${}x$ stetig partiell differenzierbar sei.

Dann ist die Abbildung

$J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt,$

(nach ${}x$) differenzierbar und es gilt

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\left(x\mapsto \int _{a}^{b}f(t,x)dt\right)}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(t,x)dt\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen