Eine reelle Folge heißt monoton wachsend [fallend], wenn
- für alle
- Kurznotation:
Gilt sogar für alle ,
so heißt strikt (streng) monton steigend [fallend].
Monotone und beschränkte Folgen sind konvergent.
Bemerkung:
- Falls :
Außerdem ist die Folge "automatisch" nach unten beschränkt, sodass nur die Beschränktheit
nach oben nachgewiesen werden muss.
Beweis (für ):
- Sei , dann existiert zu
ein m mit und es gilt
(beides nach der Definition des Supremums).
Für gilt dann:
Beispiel:
Ist monton?
Betrachtung der Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder:
- Daraus folgt: : konvergiert
ist beschränkt!
Falls konvergent: , also auch und
: (nach ). Daraus folgt: .
Falls einmal ist, kann keine Konvergenz vorliegen, da
monoton wachsend ist und der einzig mögliche Grenzwert!
- Erster Fall :
- Behauptung:
- Beweis über vollständige Induktion:
- Induktionsverankerung:
- Induktionsschluss :
- Zweiter Fall :
- (keine Konvergenz und keine Beschränktheit)
Das Netwonverfahren dient zur näherungsweisen Bestimmung der p-ten Wurzel aus (). Zunächst wählt man ein . Dann ist die Folge
- monoton fallend, und geht für gegen (Behauptung).
Beweis:
- I)
- II) Nachweis der Beschränktheit nach unten.
- Dabei basiert die erste Abschätzung auf einer Variante der Bernoulli-Ungleichung.
- III) Nachweis der Monotonie
Die Folge ist also monoton und beschränkt, wodurch folgt, dass sie konvergiert.
Berechnung des Grenzwertes:
Wir haben . Wenn , dann gilt auch: . Somit:
- .
Ein Spezialfall:
Für die näherungsweise Berechnung der Quadratwurzel aus einer Zahl ergibt sich diese Folge:
.
Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen mit der Eigenschaft
. Das heißt und
und es gilt für alle .
Außerdem existieren die Grenzwerte der Folgen mit (): und .
Beispiel: Die Eulersche Zahl e:
- Behauptung:
- ist eine Intervallschachtelung und .
- Beweis:
- I) Nachweis der Monotonie:
-
- ist also monton wachsend. Die Abschätzung erfolgt über die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel. Analog kann man beweisen, dass monton steigend ist, woraus folgt, dass monton fallend ist.
- II)
- III)
- Daraus folgt: . Nach dem Sandwich-Theorem geht .