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Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§2 Monotone Folgen

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2.1 Monotone Folgen

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Eine reelle Folge heißt monoton wachsend [fallend], wenn

für alle
Kurznotation:

Gilt sogar für alle , so heißt strikt (streng) monton steigend [fallend].

2.2 Monotoniekriterium

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Monotone und beschränkte Folgen sind konvergent.

Bemerkung:

Falls :

Außerdem ist die Folge "automatisch" nach unten beschränkt, sodass nur die Beschränktheit nach oben nachgewiesen werden muss.

Beweis (für ):

Sei , dann existiert zu

ein m mit und es gilt (beides nach der Definition des Supremums).

Für gilt dann:

Beispiel:

Ist monton?

Betrachtung der Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder:

Daraus folgt: : konvergiert

ist beschränkt!

Falls konvergent: , also auch und : (nach ). Daraus folgt: .

Falls einmal ist, kann keine Konvergenz vorliegen, da monoton wachsend ist und der einzig mögliche Grenzwert!

Erster Fall :
Behauptung:
Beweis über vollständige Induktion:
Induktionsverankerung:
Induktionsschluss :
Zweiter Fall :
(keine Konvergenz und keine Beschränktheit)

Das Newtonverfahren

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Das Netwonverfahren dient zur näherungsweisen Bestimmung der p-ten Wurzel aus (). Zunächst wählt man ein . Dann ist die Folge

monoton fallend, und geht für gegen (Behauptung).

Beweis:

I)
II) Nachweis der Beschränktheit nach unten.
Dabei basiert die erste Abschätzung auf einer Variante der Bernoulli-Ungleichung.
III) Nachweis der Monotonie

Die Folge ist also monoton und beschränkt, wodurch folgt, dass sie konvergiert.

Berechnung des Grenzwertes: Wir haben . Wenn , dann gilt auch: . Somit:

.

Ein Spezialfall: Für die näherungsweise Berechnung der Quadratwurzel aus einer Zahl ergibt sich diese Folge: .

2.3 Intervallschachtelung

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Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen mit der Eigenschaft . Das heißt und und es gilt für alle . Außerdem existieren die Grenzwerte der Folgen mit (): und .

Beispiel: Die Eulersche Zahl e:

Behauptung:
ist eine Intervallschachtelung und .
Beweis:
I) Nachweis der Monotonie:
ist also monton wachsend. Die Abschätzung erfolgt über die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel. Analog kann man beweisen, dass monton steigend ist, woraus folgt, dass monton fallend ist.
II)
III)
Daraus folgt: . Nach dem Sandwich-Theorem geht .