Kurs:Analysis III/Kapitel VI: Lineare partielle Differentialgleichungen im R^n

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§1 Das Maximumprinzip für elliptische Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Definition 1[Bearbeiten]

Sei mit ein Gebiet, in dem die stetigen Koeffizientenfunktionen für erklärt sind. Weiter sei die Matrix für alle symmetrisch. Den linearen, partiellen Differentialoperator zweiter Ordnung erklärt durch
(1)
nennen wir elliptisch bzw. degeneriert elliptisch, falls
bzw.
für alle und alle erfüllt ist. Gibt es Elliptizitätskonstanten , so dass
für alle und alle richtig ist, so heißt gleichmäßig elliptisch. Im Falle bezeichnen wir den reduzierten Differentialoperator mit .

Satz 1 (Eindeutigkeit und Stabilität)[Bearbeiten]

I. sei ein degeneriert elliptischer Differentialoperator auf dem beschränkten Gebiet mit der Koeffizientenfunktion .
II. Es gebe Konstanten , so dass
(2) für alle
erfüllt ist.
III. Schließlich sei eine Lösung des Dirichletproblems
(3) in auf
mit Funktionen und
Behauptung: Dann gibt es eine Konstante , so dass gilt
(4)

Beweis[Bearbeiten]

1. Wir betrachten die Hilfsfunktion mit zunächst noch beliebigem . Wir berechnen

wobei wir so groß gewählt haben, dass erfüllt ist.

2. Mit noch zu fixierendem erklären wir die Hilfsfunktion

Wegen in können wir abschätzen

Wählen wir nun mit festem , so folgt

(5) für alle .

3. Für berechnen wir

Nun gilt sogar für alle . Wäre dieses nämlich nicht der Fall, so existiert ein mit für alle . Dann gilt

im Widerspruch zu (5). Also folgt

für alle und alle . Nach Grenzübergang ergibt sich schließlich

mit .

q.e.d.

Satz 2 (Das Hopfsche Maximumprinzip)[Bearbeiten]

I. bezeichne einen reduzierten elliptischen Differentialoperator auf dem Gebiet .
II. Für sei die Differentialgleichung
erfüllt und nehme in einem Punkt ihr Maximum an, d. h.
für alle .
Behauptung: Dann folgt für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten die nicht leere, in abgeschlossene Menge

und zeigen, dass diese Menge offen ist. Da ein Gebiet ist, folgt durch Fortsetzung die Identität und somit

für alle .

Sei also beliebig gewählt. Dann betrachten wir für beliebiges mit

die Kugel vom Radius um den Punkt . Offenbar gilt und . Wir können also Elliptizitätskonstanten so angeben, dass gleichmäßig elliptisch ist. Wäre nun erfüllt, so gilt die Ungleichung

im Widerspruch zu . Somit folgt . Da dies für beliebige mit gilt, erhalten wir mit einem . Also ist offen.

q.e.d.

Satz 3 (Scharfes Maximumprinzip)[Bearbeiten]

I. Sei ein Gebiet und ein Randpunkt von , für den folgendes gilt: Es gibt eine Kugel und eine Funktion mit und , so dass
erfüllt ist.
II. Die Koeffizientenfunktionen seien so gegeben, dass der reduzierte partielle Differentialoperator
gleichmäßig elliptisch auf ist.
III. Die Funktion genüge der Differentialgleichung
für alle .
IV. Schließlich nehme in ihr Maximum an, d. h.
für alle
und für ihre dort existierende Ableitung in Richtung der äußeren Normale an gelte
Behauptung: Dann folgt für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Wegen Voraussetzung I kann man eine Kugel mit einem und so bestimmen, dass

richtig ist. Wäre nun erfüllt, so würde nach dem Hopfschen Randpunktlemma folgen, im Widerspruch zu Voraussetzung IV. Also nimmt ihr Maximum im inneren Punkt an und Satz 2 liefert für alle .

Definition 2[Bearbeiten]

Der lineare elliptische Differentialoperator heißt stabil, falls es eine Funktion mit
für alle
gibt.

§2 Quasilineare elliptische Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Satz 1 (Eindeutige Lösbarkeit des gemischten Randwertproblems)[Bearbeiten]

I. Es sei ein beschränktes Gebiet. Der Rand enthalte eine - eventuell leere - Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften:
a) Die Menge ist abgeschlossen.
b) Für alle gibt es ein und eine Funktion mit und , so dass gilt
II. Die stetigen Funktionen und seien vorgelegt.
III. Die beiden Funktionen und der Regularitätsklasse seien Lösungen des gemischten, quasi linearen, elliptischen Randwertproblems
(1)
(2)
(3)
Dabei bezeichnet die äußere Normale auf an .
IV. Schließlich gelte
für alle .
Behauptung: Dann folgt für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Die Funktion

genügt der linearen, elliptischen Differentialgleichung

(4)

die in einer Umgebung von gleichmäßig elliptisch ist. Weiter erfüllt die homogenen Randbedingungen

und .

Wegen Voraussetzung IV gilt für den Koeffizienten

für alle .

Nach Satz 2 und Satz 3 aus §1 kann weder in noch auf ihr globales Maximum und globales Minimum annehmen. Somit folgt bzw.

in .

q.e.d.

§3 Die Wärmeleitungsgleichung[Bearbeiten]

Satz 1 (Fourier-Plancherelsches Integraltheorem)[Bearbeiten]

Der lineare Operator
kann stetig fortgesetzt werden auf den Hilbertraum
mit dem inneren Produkt
Die Abbildung besitzt die Umkehrabbildung
die wiederum stetig auf fortgesetzt werden kann. Weiter sind und isometrische Operatoren auf , d. h.
für alle
und es gilt
für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Dieser Satz wird später bewiesen.

Definition 1[Bearbeiten]

Wir nennen den Operator die Fouriertransformation und die inverse Fouriertransformation.

Definition 2[Bearbeiten]

Die Funktion
nennen wir die Kernfunktion der Wärmeleitungsgleichung.

Satz 2 (Parabolisches Maximum-Minimum-Prinzip)[Bearbeiten]

Sei eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung
Dann folgt

Beweis[Bearbeiten]

Durch eine Anwendung auf die Hilfsfunktionen

und

erhält man sofort die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Eindeutigkeitssatz für die Wärmeleitungsgleichung)[Bearbeiten]

Gegeben sei die beschränkte, stetige Funktion . Dann gibt es genau eine beschränkte Lösung des Anfangswertproblems für die Wärmeleitungsgleichung zu dieser Funktion , d. h.
(1)
(1) in ,
(1)
(1)

Beweis[Bearbeiten]

Seien und zwei Lösungen von (1), so setzen wir

Für die Funktion

gilt dann

(2) in ,
(2)
(2) für alle .

Wir wählen nun Zahlen sowie und erklären zu der Kugel den parabolischen Zylinder

mit dem parabolischen Rand

Auf betrachten wir sowohl die Lösung des Problems (2) als auch die Funktion

(3)

Die Funktion genügt der Differentialgleichung

und auf dem parabolischen Rand gilt

Anwendung des parabolischen Maximum-Minimum-Prinzips liefert nun

(4)

Lassen wir nun in Formel (4) streben, so folgt

mit beliebigem . Somit haben wir bzw. in .

q.e.d.

§4 Charakteristische Flächen[Bearbeiten]

Definition 1[Bearbeiten]

Sei eine nicht konstante Funktion, für welche die Menge
nicht leer ist. Wir nennen eine charakteristische Fläche für die Differentialgleichung
(1)
falls die zugehörige quadratische Form
(2)
die Bedingung
für alle
erfüllt. Andererseits heißt nicht charakteristische Fläche, wenn gilt
für alle .
Im Falle sprechen wir von charakteristischen bzw. nicht charakteristischen Kurven.

Definition 2[Bearbeiten]

Zu dem Gebiet und Zahlen betrachten wir die Dose
Wir erklären den d'Alembert-Operator durch
(3)
für . Dabei ist eine feste positive Konstante (welche im physikalischen Kontext die Lichtgeschwindigkeit darstellt).

Satz 1 (Energieabschätzung für die Wellengleichung)[Bearbeiten]

Der Punkt mit dem zugehörigen Kegel
sei gegeben. Weiter sei eine Lösung der homogenen Wellengleichung
(4) in .
Hierbei ist ein nicht negatives, stetiges Potenzial auf .
Dann gilt für alle die Energieungleichung
(5)

Beweis[Bearbeiten]

1. Mit Hilfe der Transformation ziehen wir uns auf den Fall zurück. Die Koeffizientenmatrix des d'Alembert-Operators hat dann die Form

(6)

Für betrachten wir die Dose

dessen Rand aus den drei Hyperflächen und besteht. Dabei ist eine charakteristische Fläche für die Differentialgleichung (4) mit der äußeren Normale

Für die Flächen

bzw.

erhalten wir die äußere Normale

2. Wir multiplizieren nun (4) mit und berechnen

(7)

für . Integrieren wir (7) mit Hilfe des Gaußschen Satzes über die Dose , so erhalten wir

Es ist nämlich nicht negativ und es gilt

auf . Es folgt also

q.e.d.

Satz 2 (Eindeutigkeit des Cauchyschen Anfangswertproblems für die Wellengleichung)[Bearbeiten]

Die Voraussetzungen von Satz 1 seien erfüllt und genüge zusätzlich den homogenen Cauchyschen Anfangsbedingungen
(8) für alle mit .
Dann folgt auf .

Beweis[Bearbeiten]

Aus den Anfangsbedingungen (8) lesen wir ab

und die Energieabschätzung aus Satz 1 liefert

für alle .

Somit folgt auf und daher . Wiederum aus (8) erhalten wir schließlich

in .

q.e.d.

§5 Die Wellengleichung im für [Bearbeiten]

Satz 1 (d'Alembert)[Bearbeiten]

Zu vorgegebenen Funktionen und stellt die Funktion
(1)
die eindeutig bestimmte Lösung des Cauchyschen Anfangswertproblems für die eindimensionale Wellengleichung dar.

Definition 1[Bearbeiten]

Sei gegeben. Wir nennen die Funktion
(2)
den sphärischen Integralmittelwert von über die Sphäre

Satz 2 (F. John)[Bearbeiten]

Zu vorgegebenem mit gehört die Funktion der Regularitätsklasse an und es gelten die folgenden Aussagen:
a) für alle .
b) für alle .
c) für alle .
d) im .

Beweis[Bearbeiten]

a) Aus (2) ersehen wir und

für alle .

b) und c) Ebenfalls aus (2) lesen wir sofort ab und Differentiation liefert für alle .

d) Wir führen auf der Sphäre Polarkoordinaten ein:

Nach Kapitel I, §8 wird der Laplaceoperator in diesen Koordinaten zu

wobei den Laplace- Beltrami-Operator auf der Sphäre bezeichnet. In Kapitel I, §8 haben wir die Symmetrie von auf nachgewiesen. Wir erhalten damit für alle und die Gleichung

denn . Also ist die Darbouxsche Differentialgleichung für alle und erfüllt. Da diese invariant unter der Spiegelung ist, bleibt sie gültig für alle und .

q.e.d.

Satz 3 (Kirchhoff)[Bearbeiten]

Es seien Funktionen und vorgegeben. Dann wird das Cauchysche Anfangswertproblem für die dreidimensionale Wellengleichung eindeutig gelöst durch die Funktion
(3)
für .

Beweis[Bearbeiten]

1. Gemäß Satz 2 für den Fall erfüllt die Funktion die Darbouxsche Differentialgleichung

Multiplikation mit liefert

Wir betrachten nun die Funktion

mit . Diese genügt der Wellengleichung

(4) im

und erfüllt die Anfangsbedingungen

(5) für alle .

2. Wie in Teil 1 des Beweises sieht man, dass die Funktion

der Wellengleichung im genügt. Ferner gilt . Wir betrachten nun die Funktion

Auch erfüllt die Wellengleichung und wir haben die Anfangsbedingungen

für alle .

3. Mit

für erhalten wir eine Lösung der Wellengleichung und wegen (5) und obigen Anfangsbedingungen genügt den Anfangsbedingungen

Verwenden wir nun die Substitution , so folgt für alle die Identität

q.e.d.

§6 Die Wellengleichung im für [Bearbeiten]

Satz 1 (Mittelwertsatz von Asgeirsson)[Bearbeiten]