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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 18/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $L,M,N$ \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige die folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungdrei{Die Identität \maabbdisp {\operatorname{Id}_{ M }} {M} {M } {} ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Wenn \maabb {\varphi} {L} {M } {} eine Isometrie ist, so ist auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabb {\varphi^{-1}} {M} {L } {} eine Isometrie }{Wenn \maabb {\varphi} {L} {M } {} und \maabb {\psi} {M} {N } {} Isometrien sind, so ist auch $\psi \circ \varphi$ eine Isometrie. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Isometrien}{}{} auf $M$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R} {S^1 \subseteq \R^2 } {t} { \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} } {.} Zeige, dass $\varphi$ eine \definitionsverweis {lokale Isometrie}{}{} von \definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeiten}{}{} ist, wenn man $\R$ und $\R^2$ mit der \definitionsverweis {euklidischen Struktur}{}{} und $S^1$ mit der induzierten riemannschen Struktur versieht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {\R^n} { \R^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} der $\R^n$ sei mit seiner \definitionsverweis {euklidischen Struktur}{}{} und mit der induzierten \definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{} versehen. Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{} ist, wenn $\varphi$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} bezüglich der riemannschen Struktur ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {I} { \R^n } {} eine injektive \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.} Wir fassen sowohl $I$ als auch $\R^n$ über ihre \definitionsverweis {euklidische Struktur}{}{} als \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{} auf. Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(I) }
{ \subseteq }{ U }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit $U$ \definitionsverweis {offen}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} ist. Zeige, dass genau dann eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I }
{ =} { \gamma(I) }
{ \subseteq} { \R^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt, wenn $\gamma$ \definitionsverweis {bogenparametrisiert}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $L_1,L_2,M_1,M_2$ \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeiten}{}{} und seien \maabb {\varphi_1} {L_1} {M_1 } {} und \maabb {\varphi_2} {L_2} {M_2 } {} \definitionsverweis {Isometrien}{}{.} Zeige, dass auch \maabbdisp {\varphi_1 \times \varphi_2} {L_1 \times L_2} { M_1 \times M_2 } {} eine Isometrie ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {S^1 \times \R_+} { \Complex \setminus \{(0,0)\} = \R^2 \setminus \{(0,0)\} } {(s,t) } { st } {,} wobei der Zylinder $S^1 \times \R_+$ mit der \definitionsverweis {riemannschen Produktstruktur}{}{} versehen sei. Beschreibe die riemannsche Struktur auf
\mathl{\R^2 \setminus \{(0,0)\}}{,} die sich ergibt, wenn $\varphi$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} werden soll.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {r} {und} {R} {} positive reelle Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ < }{ r }
{ < }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wir betrachten den \zusatzklammer {eingebetteten} {} {} Torus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {induzierten riemannschen Struktur}{}{.} Zeige, dass zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ \in }{ [0,2 \pi [ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abbildung \maabbeledisp {\Psi_\alpha} {\R^3} {\R^3 } { \left( x , \, y , \, z \right) } { \left( x \cos \alpha - y \sin \alpha , \, x \sin \alpha + y \cos \alpha , \, z \right) } {,} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} von $T$ in sich induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die Länge des linearen Weges von
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}}{} nach
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}}{} in der \definitionsverweis {Poincaréschen Halbebene}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Flächeninhalt des Rechteckes in der \definitionsverweis {Poincaréschen Halbebene}{}{,} das durch die Eckpunkte
\mathl{(1,1),\, (5,1),\, (1,3),\, (5,3)}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {,} eine \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} zwischen der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ${\mathbb H}$ und der offenen Einheitskreisscheibe $U { \left( 0,1 \right) }$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} der \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\psi} { \Complex \setminus \{1\} } { \Complex } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {} in reellen Koordinaten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\psi} { \R^2 \setminus \{ (1,0 )\} } { \R^2 } { \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} } { { \frac{ 1 }{ -2a+1+a^2+b^2 } } \begin{pmatrix} -2b \\1-a^2-b^2 \end{pmatrix} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Durchstoßungspunkte zur Geraden, die durch
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\0\\ -1 \end{pmatrix}}{} und einem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} a \\b\\ 0 \end{pmatrix}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verläuft, mit dem zweischaligen Hyperboloid, siehe Beispiel 18.11.

}
{} {}


Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} zwei $C^k$-\definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten}{}{.} Eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} heißt ein \definitionswortpraemath {C^k}{ lokaler Diffeomorphismus }{,} wenn es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, dass $\varphi {{|}}_U$ ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} zwischen $U$ und $\varphi(U)$ induziert.







\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Ellipsoidoberfläche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x^2+3y^2+5z^2 = 1 \right\} } }
{ \subset} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der vom umgebenden Raum induzierten \definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {linearen Isometrien}{}{} des $\R^3$, die eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf $E$ induzieren.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien $L,M$ \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{,} \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} sei ein \definitionsverweis {lokaler Diffeomorphismus}{}{} und $M$ sei eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass es eine eindeutige riemannsche Struktur auf $L$ derart gibt, dass $\varphi$ zu einer \definitionsverweis {lokalen Isometrie}{}{} wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ und einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {M } {,} der keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Berechne die Länge des oberen Halbkreies mit Radius $\sqrt{2}$ von
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}}{} nach
\mathl{\begin{pmatrix} -1 \\1 \end{pmatrix}}{} in der \definitionsverweis {Poincaréschen Halbebene}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Flächeninhalt des Kreies mit Mittelpunkt
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\2 \end{pmatrix}}{} und Radius $1$ in der \definitionsverweis {Poincaréschen Halbebene}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Beschreibe eine explizite \definitionsverweis {Isometrie}{}{} zwischen der \definitionsverweis {Poincaréschen Halbebene}{}{} und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids.

}
{} {}