Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}L,M,N$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} _{M}\colon M\longrightarrow M$

   ist eine Isometrie.

2. Wenn ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ eine Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}\colon M\rightarrow L$ eine Isometrie
3. Wenn ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$ Isometrien sind, so ist auch ${}\psi \circ \varphi$ eine Isometrie.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf ${}M$ eine Gruppe bilden.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass ${}\varphi$ eine lokale Isometrie von riemannschen Mannigfaltigkeiten ist, wenn man ${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der euklidischen Struktur und ${}S^{1}$ mit der induzierten riemannschen Struktur versieht.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung, der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit seiner euklidischen Struktur und mit der induzierten riemannschen Struktur versehen. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine lineare Isometrie ist, wenn ${}\varphi$ eine Isometrie bezüglich der riemannschen Struktur ist.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine injektive stetig differenzierbare Kurve. Wir fassen sowohl ${}I$ als auch ${}\mathbb {R} ^{n}$ über ihre euklidische Struktur als riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass ${}\gamma (I)\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}U$ offen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist. Zeige, dass genau dann eine Isometrie

${}I=\gamma (I)\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

vorliegt, wenn ${}\gamma$ bogenparametrisiert ist.

Aufgabe

Es seien ${}L_{1},L_{2},M_{1},M_{2}$ riemannsche Mannigfaltigkeiten und seien ${}\varphi _{1}\colon L_{1}\rightarrow M_{1}$ und ${}\varphi _{2}\colon L_{2}\rightarrow M_{2}$ Isometrien. Zeige, dass auch

$\varphi _{1}\times \varphi _{2}\colon L_{1}\times L_{2}\longrightarrow M_{1}\times M_{2}$

eine Isometrie ist.

Aufgabe

Wir betrachten den Diffeomorphismus

$\varphi \colon S^{1}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {C} \setminus \{(0,0)\}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(s,t)\longmapsto st,$

wobei der Zylinder ${}S^{1}\times \mathbb {R} _{+}$ mit der riemannschen Produktstruktur versehen sei. Beschreibe die riemannsche Struktur auf ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$, die sich ergibt, wenn ${}\varphi$ eine Isometrie werden soll.

Aufgabe *

Es seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$, wir betrachten den (eingebetteten) Torus

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

mit der induzierten riemannschen Struktur. Zeige, dass zu jedem ${}\alpha \in [0,2\pi [$ die Abbildung

$\Psi _{\alpha }\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,\,x\sin \alpha +y\cos \alpha ,\,z\right),$

eine Isometrie von ${}T$ in sich induziert.

Aufgabe

Berechne die Länge des linearen Weges von ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ nach ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ in der Poincaréschen Halbebene.

Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des Rechteckes in der Poincaréschen Halbebene, das durch die Eckpunkte ${}(1,1),\,(5,1),\,(1,3),\,(5,3)$ gegeben ist.

Aufgabe *

Zeige, dass durch die Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen der Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}.$

Aufgabe *

Beschreibe die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {C} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}$

in reellen Koordinaten.

Aufgabe *

Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(1,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme die Durchstoßungspunkte zur Geraden, die durch ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}}$ und einem Punkt ${}{\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}}$ mit ${}a^{2}+b^{2}<1$ verläuft, mit dem zweischaligen Hyperboloid, siehe Beispiel 18.11.

Es seien ${}L$ und ${}M$ zwei ${}C^{k}$- Mannigfaltigkeiten. Eine stetige Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt ein ${}C^{k}$-lokaler Diffeomorphismus, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in L$ eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq L$ gibt, dass ${}\varphi {|}_{U}$ ein Diffeomorphismus zwischen ${}U$ und ${}\varphi (U)$ induziert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe

Wir betrachten die Ellipsoidoberfläche

${}E={\left\{(x,y,z)\mid 2x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=1\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}\,$

mit der vom umgebenden Raum induzierten riemannschen Struktur. Bestimme die linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die eine Isometrie auf ${}E$ induzieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}L,M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten,

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

sei ein lokaler Diffeomorphismus und ${}M$ sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass es eine eindeutige riemannsche Struktur auf ${}L$ derart gibt, dass ${}\varphi$ zu einer lokalen Isometrie wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine riemannsche Mannigfaltigkeit ${}M$ und einen Diffeomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow M,$

der keine Isometrie ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des oberen Halbkreies mit Radius ${}{\sqrt {2}}$ von ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ nach ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ in der Poincaréschen Halbebene.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Kreies mit Mittelpunkt ${}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$ und Radius ${}1$ in der Poincaréschen Halbebene.

Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe eine explizite Isometrie zwischen der Poincaréschen Halbebene und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids.