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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 18

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Übungsaufgaben

Es seien riemannsche Mannigfaltigkeiten. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Identität

    ist eine Isometrie.

  2. Wenn eine Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung eine Isometrie
  3. Wenn und Isometrien sind, so ist auch eine Isometrie.



Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf eine Gruppe bilden.



Es sei

Zeige, dass eine lokale Isometrie von riemannschen Mannigfaltigkeiten ist, wenn man und mit der euklidischen Struktur und mit der induzierten riemannschen Struktur versieht.



Es sei eine lineare Abbildung, der sei mit seiner euklidischen Struktur und mit der induzierten riemannschen Struktur versehen. Zeige, dass genau dann eine lineare Isometrie ist, wenn eine Isometrie bezüglich der riemannschen Struktur ist.



Es sei ein offenes Intervall und

eine injektive stetig differenzierbare Kurve. Wir fassen sowohl als auch über ihre euklidische Struktur als riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass mit offen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist. Zeige, dass genau dann eine Isometrie

vorliegt, wenn bogenparametrisiert ist.



Es seien riemannsche Mannigfaltigkeiten und seien und Isometrien. Zeige, dass auch

eine Isometrie ist.



Wir betrachten den Diffeomorphismus

wobei der Zylinder mit der riemannschen Produktstruktur versehen sei. Beschreibe die riemannsche Struktur auf , die sich ergibt, wenn eine Isometrie werden soll.



Es seien und positive reelle Zahlen mit , wir betrachten den (eingebetteten) Torus

mit der induzierten riemannschen Struktur. Zeige, dass zu jedem die Abbildung

eine Isometrie von in sich induziert.



Berechne die Länge des linearen Weges von nach in der Poincaréschen Halbebene.



Berechne den Flächeninhalt des Rechteckes in der Poincaréschen Halbebene, das durch die Eckpunkte gegeben ist.



Zeige, dass durch die Abbildungen

und

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene und der offenen Einheitskreisscheibe gegeben ist.



Bestimme die Ableitungen der Abbildungen

und



Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten.



Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung



Bestimme die Durchstoßungspunkte zur Geraden, die durch und einem Punkt mit verläuft, mit dem zweischaligen Hyperboloid, siehe Beispiel 18.11.


Es seien und zwei - Mannigfaltigkeiten. Eine stetige Abbildung

heißt ein -lokaler Diffeomorphismus, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung gibt, dass ein Diffeomorphismus zwischen und induziert.




Aufgaben zum Abgeben

Wir betrachten die Ellipsoidoberfläche

mit der vom umgebenden Raum induzierten riemannschen Struktur. Bestimme die linearen Isometrien des , die eine Isometrie auf induzieren.



Aufgabe (4 Punkte)

Es seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten,

sei ein lokaler Diffeomorphismus und sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass es eine eindeutige riemannsche Struktur auf derart gibt, dass zu einer lokalen Isometrie wird.



Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine riemannsche Mannigfaltigkeit und einen Diffeomorphismus

der keine Isometrie ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des oberen Halbkreies mit Radius von nach in der Poincaréschen Halbebene.



Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Kreies mit Mittelpunkt und Radius in der Poincaréschen Halbebene.



Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe eine explizite Isometrie zwischen der Poincaréschen Halbebene und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids.




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