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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 5/latex

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\setcounter{section}{5}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { ax^2+by^2+cxy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{} und die \definitionsverweis {Hauptkrümmungsrichtungen}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} zu $f$ im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{} und die \definitionsverweis {Hauptkrümmungsrichtungen}{}{} für jeden Punkt des \definitionsverweis {Graphen}{}{} zu \maabbeledisp {f} {\R^{n-1}} {\R } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_{n-1} \right) } { a_1x_1^2 + \cdots + a_{n-1} x_{n-1}^2 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y,z) }
{ =} { ax^2 +by^2 +c z^2 +dxy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} der \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} zu $f$ im Nullpunkt. Berechne ferner die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{} und die \definitionsverweis {Hauptkrümmungsrichtungen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y,z) }
{ =} { ax^2 +by^2 +c z^2 +dxy + e yz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} der \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} zu $f$ im Nullpunkt. Wie schwierig ist es in diesem Fall, die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{} zu bestimmen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { x^2+y^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{,} die \definitionsverweis {Hauptkrümmungsrichtungen}{}{} und die \definitionsverweis {Gaußkrümmung}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} zu $f$ für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (Q,f(Q)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ \R^{n-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabb {f} {V} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{} und die \definitionsverweis {Hauptkrümmungsrichtungen}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} zu $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (Q,f(Q)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nur von den ersten und den zweiten partiellen Ableitungen von $f$ in $Q$ abhängen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Wir fassen $h$ auch als eine Abbildung $\tilde{h}$ auf
\mathl{W \times \R^m}{} auf, wobei die hinteren $m$ Variablen nicht explizit in $\tilde{h}$ eingehen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z }
{ =} { \tilde{h}^{-1}(c) }
{ =} { Y \times \R^m }
{ \subseteq} { W \times \R^{m} }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} In welcher Beziehung stehen die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{} und \definitionsverweis {Hauptkrümmungsrichtungen}{}{} von $Z$ in $Q$ und von $Y$ in $P$.

}
{} {}


Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine zweifach \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$ die \definitionswort {Gauß-Kronecker-Krümmung}{} von $Y$ in $P$.


Die Gauß-Kronecker-Krümmung ist eine direkte Verallgemeinerung der Gaußkrümmung.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine zweifach \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das Produkt der \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{} von $Y$ in $P$ gleich der \definitionsverweis {Gauß-Kronecker-Krümmung}{}{} von $Y$ in $P$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y,z,w) }
{ =} { x^2+y^3+z^4+w^5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme für den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { \left( 1 , \, -1 , \, 1 , \, 0 \right) }
{ \in} { Y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$, ihr \definitionsverweis {charakteristisches Polynom}{}{} und die \definitionsverweis {Gauß-Kronecker-Krümmung}{}{} von $Y$ in $P$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y,z) }
{ =} { x^2+y^3+z^5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ = }{ \R^3 \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Normalkrümmung}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in Richtung des normierten Tangentialvektors
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{29} } } \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { x^3 +x^2y+3xy^2-y^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{,} die \definitionsverweis {Hauptkrümmungsrichtungen}{}{} und die \definitionsverweis {Gaußkrümmung}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} zu $f$ für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (Q,f(Q)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y,z) }
{ =} { -7x^2 +3y^2 -5z^2+ 6xy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Hauptkrümmungen}{}{} und die \definitionsverweis {Hauptkrümmungsrichtungen}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} zu $f$ im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y,z,w) }
{ =} { x^2+yz+z^3+xyzw }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme für den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { \left( 1 , \, 1 , \, 1 , \, -1 \right) }
{ \in} { Y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$, ihr \definitionsverweis {charakteristisches Polynom}{}{} und die \definitionsverweis {Gauß-Kronecker-Krümmung}{}{} von $Y$ in $P$.

}
{} {Tipp: Löse die Gleichung nach einer geeigneten Variablen auf und behandle die Hyperfläche als einen Graphen in den anderen Variablen.}




\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y,z) }
{ =} { x^3+y^3+z^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ = }{ \R^3 \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1\\ - \sqrt[3]{2} \end{pmatrix} }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix} }
{ \in} { T_PY }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme eine Ebenengleichung für die \definitionsverweis {Normalebene}{}{} zu $v$. }{Bestimme die \definitionsverweis {Normalkrümmung}{}{} in $P$ in Richtung des normierten Tangentialvektors
\mathl{{ \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } }}{.} }{Bestimme eine bogenparametrisierte Kurve \maabbdisp {\gamma} {I} {Y } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma (0) }
{ = }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma' (0) }
{ = }{ { \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestätige Satz 5.14 in dieser Situation. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Skizziere eine differenzierbare Fläche $Y$ im Raum und eine Normalebene $E$, deren Durchschnitt mit der Fläche eine Kurve ergibt, die nicht überall regulär ist.

}
{} {}