Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei

$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2+cxy.$

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu $f$ im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen für jeden Punkt des Graphen zu

$f:{ℝ}^{n-1}⟶ℝ,(x_1,\dots ,x_{n-1})⟼a_1{x}_1^2+\cdots +a_{n-1}{x}_{n-1}^2.$

Aufgabe

Es sei

$f(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy.$

Berechne das charakteristische Polynom der Weingartenabbildung des Graphen zu $f$ im Nullpunkt. Berechne ferner die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen.

Aufgabe

Es sei

$f(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+eyz.$

Berechne das charakteristische Polynom der Weingartenabbildung des Graphen zu $f$ im Nullpunkt. Wie schwierig ist es in diesem Fall, die Hauptkrümmungen zu bestimmen?

Aufgabe

Es sei

$f(x,y)=x^2+y^3.$

Bestimme die Hauptkrümmungen, die Hauptkrümmungsrichtungen und die Gaußkrümmung des Graphen zu $f$ für jeden Punkt  $P=(Q,f(Q))$,   $Q\in {ℝ}^2$. 

Aufgabe

Es sei  $V\subseteq {ℝ}^{n-1}$  offen und sei $f:V\to ℝ$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu $f$ in einem Punkt  $P=(Q,f(Q))$  nur von den ersten und den zweiten partiellen Ableitungen von $f$ in $Q$ abhängen.

Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Wir fassen $h$ auch als eine Abbildung $\tilde{h}$ auf $W\times {ℝ}^m$ auf, wobei die hinteren $m$ Variablen nicht explizit in $\tilde{h}$ eingehen. Es sei

$Z={\tilde{h}}^{-1}(c)=Y\times {ℝ}^m\subseteq W\times {ℝ}^m.$

Es sei  $Q\in Z$  ein Punkt über  $P\in Y$.  In welcher Beziehung stehen die Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen von $Z$ in $Q$ und von $Y$ in $P$.

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Zu einem Punkt  $P\in Y$  nennt man die Determinante der Weingartenabbildung $L_P$ die Gauß-Kronecker-Krümmung von $Y$ in $P$.

Die Gauß-Kronecker-Krümmung ist eine direkte Verallgemeinerung der Gaußkrümmung.

Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei  $P\in Y$.  Zeige, dass das Produkt der Hauptkrümmungen von $Y$ in $P$ gleich der Gauß-Kronecker-Krümmung von $Y$ in $P$ ist.

Aufgabe

Es sei

$h(x,y,z,w)=x^2+y^3+z^4+w^5$

und  $Y=h^{-1}(1)$.  Bestimme für den Punkt

$P=(1,-1,1,0)\in Y$

die Weingartenabbildung $L_P$, ihr charakteristisches Polynom und die Gauß-Kronecker-Krümmung von $Y$ in $P$.

Aufgabe

Es sei

$h(x,y,z)=x^2+y^3+z^5$

auf  $W={ℝ}^3\setminus \{0\}$  und  $Y=h^{-1}(0)$.  Bestimme die Normalkrümmung im Punkt  $P=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$  in Richtung des normierten Tangentialvektors $\frac{1}{\sqrt{29}}\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 4\end{array}\right)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f(x,y)=x^3+x^{2}y+3x{y}^2-y^4.$

Bestimme die Hauptkrümmungen, die Hauptkrümmungsrichtungen und die Gaußkrümmung des Graphen zu $f$ für jeden Punkt  $P=(Q,f(Q))$,   $Q\in {ℝ}^2$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f(x,y,z)=-7x^2+3y^2-5z^2+6xy.$

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu $f$ im Nullpunkt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

$h(x,y,z,w)=x^2+yz+z^3+xyzw$

und  $Y=h^{-1}(2)$.  Bestimme für den Punkt

$P=(1,1,1,-1)\in Y$

die Weingartenabbildung $L_P$, ihr charakteristisches Polynom und die Gauß-Kronecker-Krümmung von $Y$ in $P$.

Tipp: Löse die Gleichung nach einer geeigneten Variablen auf und behandle die Hyperfläche als einen Graphen in den anderen Variablen.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei

$h(x,y,z)=x^3+y^3+z^3$

auf  $W={ℝ}^3\setminus \{0\}$  und  $Y=h^{-1}(0)$.  Es sei  $P=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -\sqrt[3]{2}\end{array}\right)\in Y$  und

$v=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)\in T_{P}Y.$

1. Bestimme eine Ebenengleichung für die Normalebene zu $v$.
2. Bestimme die Normalkrümmung in $P$ in Richtung des normierten Tangentialvektors $\frac{v}{\Vert v\Vert }$.
3. Bestimme eine bogenparametrisierte Kurve

   $\gamma :I⟶Y$

   mit  $\gamma (0)=P$,   ${\gamma }^{\prime }(0)=\frac{v}{\Vert v\Vert }$.  Bestätige Satz 5.14 in dieser Situation.

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere eine differenzierbare Fläche $Y$ im Raum und eine Normalebene $E$, deren Durchschnitt mit der Fläche eine Kurve ergibt, die nicht überall regulär ist.