Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 22

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Hier hat Vorli die Fragebögen von Dr. Eisenbeis zerfetzt. Zum Glück hat Dr. Eisenbeis alles schon digital abgespeichert.




Hamiltonkreise

Definition  

Ein Kreis in einem Graphen heißt Hamiltonkreis, wenn in ihm jeder Knotenpunkt vorkommt.

Da in einem Kreis ein Punkt höchstens einmal vorkommt, kommt in einem Hamiltonkreis jeder Punkt genau einmal vor. Ein Hamiltonscher Pfad ist ein Kantenzug, bei dem jeder Knoten genau einmal durchlaufen wird, die Enden müssen aber nicht wie bei einem Hamiltonkreis notwendigerweise durch eine Kante verbunden sein.

Hamiltonian Dodecahedron Graph.svg



Definition  

Ein Graph heißt hamiltonsch, wenn es in ihm einen Hamiltonkreis gibt.

Der Schachpferdgraph: Die Knoten sind die Schachfelder und zwei Felder sind durch eine Kante miteinander verbunden, wenn man durch einen Pferdsprung von einem Feld zum andern kommen kann. Die Animation zeigt einen hamiltonschen Pfad, der kein Hamiltonkreis ist. Gibt es einen Hamiltonkreis?

Der folgende Satz heißt Satz von Ore.



Satz  

Es sei ein Graph mit mindestens drei Elementen, der die Bedingung

für je zwei nicht adjazente Knoten erfüllt.

Dann ist hamiltonsch.

Beweis  

Wir argumentieren bei einer fixierten Knotenmenge absteigend über die Kantenmenge. Für einen vollständigen Graphen ist die Aussage richtig. Wir müssen zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn man aus einem Graphen, für den die Aussage gilt, eine Kante herausnimmt. Es sei also ein Graph, für den es einen Hamiltonkreis gibt, und es sei die Kante, die wir herausnehmen. Sei der verkleinerte Graph. Wenn es in einen Hamiltonkreis gibt, in dem nicht vorkommt, so ist dies direkt ein Hamiltonkreis für . Sei also (alle beziehen sich auf )

mit ein Hamiltonkreis von . Wir betrachten die Mengen

und

Dabei ist (in der Definition von ) als zu interpretieren und die Nachbarschaften beziehen sich auf . Aufgrund der Voraussetzung über die Grade ( und sind nicht adjazent und ist so groß wie ) ist

Das Element gehört nicht zur Vereinigung , da ein Knotenpunkt nicht mit sich selbst benachbart ist. Daher gibt es nach der Siebformel ein Element

Es gibt also die Verbindungskanten und und somit den Hamiltonkreis

der ohne die Kante auskommt und daher ein Hamiltonkreis in ist.


<< | Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)