Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 22

Hier hat Vorli die Fragebögen von Dr. Eisenbeis zerfetzt. Zum Glück hatte Dr. Eisenbeis alles schon digital abgespeichert.

Hamiltonkreise

Definition

Ein Kreis in einem Graphen ${}(V,E)$ heißt Hamiltonkreis, wenn in ihm jeder Knotenpunkt vorkommt.

Da in einem Kreis ein Punkt höchstens einmal vorkommt, kommt in einem Hamiltonkreis jeder Punkt genau einmal vor. Ein Hamiltonscher Pfad ist ein Kantenzug, bei dem jeder Knoten genau einmal durchlaufen wird, die Enden müssen aber nicht wie bei einem Hamiltonkreis notwendigerweise durch eine Kante verbunden sein.

Definition

Ein Graph ${}(V,E)$ heißt hamiltonsch, wenn es in ihm einen Hamiltonkreis gibt.

Der Schachpferdgraph: Die Knoten sind die Schachfelder und zwei Felder sind durch eine Kante miteinander verbunden, wenn man durch einen Pferdsprung von einem Feld zum andern kommen kann. Die Animation zeigt einen hamiltonschen Pfad, der kein Hamiltonkreis ist. Gibt es einen Hamiltonkreis?

Der folgende Satz heißt Satz von Ore.

Satz

Es sei ${}G=(V,E)$ ein Graph mit mindestens drei Elementen, der die Bedingung

${}d(u)+d(v)\geq {\#\left(V\right)}\,$

für je zwei nicht adjazente Knoten ${}u,v$ erfüllt.

Dann ist ${}G$ hamiltonsch.

Beweis

Wir argumentieren bei einer fixierten Knotenmenge absteigend über die Kantenmenge. Für einen vollständigen Graphen ist die Aussage richtig. Wir müssen zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn man aus einem Graphen, für den die Aussage gilt, eine Kante herausnimmt. Es sei also ${}G$ ein Graph, für den es einen Hamiltonkreis gibt, und es sei ${}L=\{x,y\}$ die Kante, die wir herausnehmen. Es sei ${}H$ der verkleinerte Graph. Wenn es in ${}G$ einen Hamiltonkreis gibt, in dem ${}L$ nicht vorkommt, so ist dies direkt ein Hamiltonkreis für ${}H$. Es sei also (alle ${}\sim$ beziehen sich auf ${}G$)

${}x=v_{1}\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{n-1}\sim v_{n}=y\,$

mit ${}n={\#\left(V\right)}$ ein Hamiltonkreis von ${}G$. Wir betrachten die Mengen

${}A={\left\{v_{i}\mid x{\text{ und }}v_{i+1}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,$

und

${}B={\left\{v_{i}\mid y{\text{ und }}v_{i}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,.$

Dabei ist (in der Definition von ${}A$) ${}v_{n+1}$ als ${}v_{1}$ zu interpretieren und die Nachbarschaften beziehen sich auf ${}H$. Aufgrund der Voraussetzung über die Grade (${}x$ und ${}y$ sind nicht adjazent und ${}A$ ist so groß wie ${}N(x)$) ist

${}{\#\left(A\right)}+{\#\left(B\right)}\geq n\,.$

Das Element ${}y$ gehört nicht zur Vereinigung ${}A\cup B$, da ein Knotenpunkt nicht mit sich selbst benachbart ist. Daher gibt es nach der Siebformel ein Element

${}v_{k}\in A\cap B\,.$

Es gibt also die Verbindungskanten ${}\{x,v_{k+1}\}$ und ${}\{y,v_{k}\}$ und somit den Hamiltonkreis

${}x\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{k-1}\sim v_{k}\sim y\sim v_{n-1}\sim \ldots \sim v_{k+1}\,,$

der ohne die Kante ${}L$ auskommt und daher ein Hamiltonkreis in ${}H$ ist.

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