Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/1/Klausur/latex
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise mittels der Division mit Rest, dass jede Untergruppe $H$ von $\Z$ die Gestalt $H= \Z d$ mit einem $d \in \N$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien $n,m \in \Z$ ganze Zahlen. Zeige, dass $n$ genau dann ein Teiler von $m$ ist, wenn es einen Ringhomomorphismus \maabbdisp {} {\Z/(m) } { \Z/(n) } {} gibt. Zeige durch ein Beispiel, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {} {\Z/(m) } { \Z/(n) } {} geben kann, ohne dass $n$ ein Teiler von $m$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $9$ und $25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(9) \times \Z/(25)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 0 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 3 \!\! \mod 9 \text{ und } x = 5 \!\! \mod 25} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $45$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Zwölfteldrehung \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Drehgruppe $\operatorname{SO}_{2}$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+1+1+2)}
{
Betrachte den Würfel
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Snijden_kruisen_evenwijdig.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Snijden kruisen evenwijdig.png } {} {MADe} {nl.wikipedia} {cc-by-sa 3.0} {}
Es sei $\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte
\mathkor {} {A} {und} {G} {,}
die den Eckpunkt $B$ auf $D$ schickt, und es sei $\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse
\zusatzklammer {also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche $A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche $E,F,G,H$ läuft} {} {.}
a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge $\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch $\alpha, \beta, \alpha \beta$ und $\beta \alpha$ bewirkt werden.
b) Bestimme die Drehachse von $\alpha \beta$ und von $\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.
c) Man gebe die Zykeldarstellung der von $\alpha^2$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist $\alpha^{1001}$?
d) Man betrachte die Permutation $\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {A} {B} {C} {D} {E} }
{\mazeileunddrei {F} {G} {H
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {B} {C} {D} {A} {G} }
{\mazeileunddrei {H} {E} {F} }
gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von $\sigma$.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.
Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
heißt \definitionswort {angeordnet}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {totale Ordnung}{}{}
$\geq$ auf $R$ gibt, die die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+c
}
{ \geq }{b+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
} {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}
erfüllt.
Die Schreibweise $a>b$ bedeutet $a \geq b$ und $a \neq b$. Die Schreibweise $a \leq b$ bedeutet $b \geq a$.
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {angeordneter Integritätsbereich}{}{.}
a) Zeige, dass aus $ca \geq cb$ mit $c>0$ folgt, dass $a \geq b$ ist.
b) Zeige, dass $1>0$ in $R$ gilt.
c) Zeige, dass aus $a<0$ die Eigenschaft $-a>0$ folgt.
d) Es sei $K=Q(R)$ der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von $R$. Definiere eine Ordnungsrelation $\geq$ auf $K$, die auf $R \subseteq K$ mit der vorgegebenen Ordnung übereinstimmt, und die $K$ zu einem angeordneten Körper macht.
}
{} {(Tipp: es empfiehlt sich, die Nenner positiv anzusetzen).}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^6-1$ über den
\definitionsverweis {Körpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q, \R, {\mathbb C}, \Z/(7)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Betrachte den Körper
\mathl{K=\mathbb F_4= \Z/(2)[U]/(U^2+U+1)}{.} Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision
\mathdisp {X^4 +uX^3+ (u+1) X+1\text{ durch } uX^2+X+u+1} { }
aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $\mathbb F_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus $\mathbb F_q^{\times}$ ein Quadrat in $\mathbb F_q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beschreibe den
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von
\mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} in $\mathbb F_9$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Formuliere und beweise die \anfuehrung{Gradformel}{} für eine Kette von \definitionsverweis {endlichen Kör\-pererweiterungen}{}{} $K \subseteq L \subseteq M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien zwei verschiedene Punkte $M,P$ in der Ebene gegeben. Es bezeichne $K$ den Kreis mit Mittelpunkt $M$ durch den Punkt $P$. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} \zusatzklammer {ohne andere Konstruktionen zu verwenden} {} {} die Tangente an den Kreis $K$ durch $P$. Skizziere die Situation.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Charakterisiere mit Hilfe von Fermatschen Primzahlen \zusatzklammer {ohne Beweis} {} {} diejenigen natürlichen Zahlen $n$, für die das reguläre $n$-Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für $n$ zwischen $30$ und $40$ an.
}
{} {}