Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/1/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise mittels der Division mit Rest, dass jede Untergruppe ${}H$ von ${}\mathbb {Z}$ die Gestalt ${}H=\mathbb {Z} d$ mit einem ${}d\in \mathbb {N}$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}n,m\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige, dass ${}n$ genau dann ein Teiler von ${}m$ ist, wenn es einen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$

gibt. Zeige durch ein Beispiel, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$

geben kann, ohne dass ${}n$ ein Teiler von ${}m$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen ${}2$, ${}9$ und ${}25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(25)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=0\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=3\!\!\mod 9{\text{ und }}x=5\!\!\mod 25.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${}45$ Grad, von der Drehung um ${}99$ Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}$?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe * (6 (2+1+1+2) Punkte)

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${}A$ und ${}G$, die den Eckpunkt ${}B$ auf ${}D$ schickt, und es sei ${}\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}E,F,G,H$ läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch ${}\alpha ,\beta ,\alpha \beta$ und ${}\beta \alpha$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von ${}\alpha \beta$ und von ${}\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von ${}\alpha ^{2}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ${}\alpha ^{1001}$?

d) Man betrachte die Permutation ${}\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\sigma (x)$	${}B$	${}C$	${}D$	${}A$	${}G$	${}H$	${}E$	${}F$

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von ${}\sigma$.

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}R$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in R$,
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ für beliebige ${}a,b\in R$,

erfüllt.

Die Schreibweise ${}a>b$ bedeutet ${}a\geq b$ und ${}a\neq b$. Die Schreibweise ${}a\leq b$ bedeutet ${}b\geq a$.

Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei ${}R$ ein angeordneter Integritätsbereich.

a) Zeige, dass aus ${}ca\geq cb$ mit ${}c>0$ folgt, dass ${}a\geq b$ ist.

b) Zeige, dass ${}1>0$ in ${}R$ gilt.

c) Zeige, dass aus ${}a<0$ die Eigenschaft ${}-a>0$ folgt.

d) Es sei ${}K=Q(R)$ der Quotientenkörper von ${}R$. Definiere eine Ordnungsrelation ${}\geq$ auf ${}K$, die auf ${}R\subseteq K$ mit der vorgegebenen Ordnung übereinstimmt, und die ${}K$ zu einem angeordneten Körper macht.

(Tipp: es empfiehlt sich, die Nenner positiv anzusetzen).

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}X^{6}-1$ über den Körpern ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte den Körper ${}K=\mathbb {F} _{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)$. Führe im Polynomring ${}K[X]$ die Polynomdivision

$X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1$

aus, wobei ${}u$ die Restklasse von ${}U$ in ${}K$ bezeichnet.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {F} _{q}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich ${}2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${}\mathbb {F} _{q}^{\times }$ ein Quadrat in ${}\mathbb {F} _{q}$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${}\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{9}$ an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Schreibe den Restklassenring ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${}X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe * (7 Punkte)

Formuliere und beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte ${}M,P$ in der Ebene gegeben. Es bezeichne ${}K$ den Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ durch den Punkt ${}P$. Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis ${}K$ durch ${}P$. Skizziere die Situation.

Aufgabe * (2 Punkte)

Charakterisiere mit Hilfe von Fermatschen Primzahlen (ohne Beweis) diejenigen natürlichen Zahlen ${}n$, für die das reguläre ${}n$-Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für ${}n$ zwischen ${}30$ und ${}40$ an.

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