Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/1/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise mittels der Division mit Rest, dass jede Untergruppe von die Gestalt mit einem besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ganze Zahlen. Zeige, dass genau dann ein Teiler von ist, wenn es einen Ringhomomorphismus

gibt. Zeige durch ein Beispiel, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

geben kann, ohne dass ein Teiler von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe * (3 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um Grad, von der Drehung um Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe * (6 (2+1+1+2) Punkte)

Betrachte den Würfel


Es sei diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte und , die den Eckpunkt auf schickt, und es sei die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche und den Mittelpunkt der Seitenfläche läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge , die durch und bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von und von sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ?

d) Man betrachte die Permutation , die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von .


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.


Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt für beliebige ,
  2. Aus und folgt für beliebige ,

erfüllt.


Die Schreibweise bedeutet und . Die Schreibweise bedeutet .

Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei ein angeordneter Integritätsbereich.

a) Zeige, dass aus mit folgt, dass ist.

b) Zeige, dass in gilt.

c) Zeige, dass aus die Eigenschaft folgt.

d) Es sei der Quotientenkörper von . Definiere eine Ordnungsrelation auf , die auf mit der vorgegebenen Ordnung übereinstimmt, und die zu einem angeordneten Körper macht.

(Tipp: es empfiehlt sich, die Nenner positiv anzusetzen).

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms über den Körpern und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision

aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich . Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ein Quadrat in ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.


Aufgabe * (7 Punkte)

Formuliere und beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte in der Ebene gegeben. Es bezeichne den Kreis mit Mittelpunkt durch den Punkt . Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis durch . Skizziere die Situation.


Aufgabe * (2 Punkte)

Charakterisiere mit Hilfe von Fermatschen Primzahlen (ohne Beweis) diejenigen natürlichen Zahlen , für die das reguläre -Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für zwischen und an.




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