Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/11/Klausur/latex
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Man gebe einen Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die \aufzaehlungdrei{reflexiv }{symmetrisch }{reflexiv und symmetrisch } sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{x \in { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{.} Es sei $a$ die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $x$ in der additiven Gruppe
\mathl{(\Z/(p),+,0)}{} und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe
\mathl{({ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}, \cdot , 1)}{.} Zeige, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(13)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Erläutere die Begriffe \anfuehrung{Linksnebenklasse}{,} \anfuehrung{Index}{} und \anfuehrung{Normalteiler}{.} Zeige, dass eine Untergruppe vom Index $2$ ein Normalteiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
a) Bestimme für die Zahlen $3$, $4$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(4) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 3 \!\! \mod 4 \text{ und } x = 1 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Betrachte die beiden Permutationen \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {3} {7} {1} }
{\mazeileunddrei {4} {8} {6} } und \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\tau(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {5} {2} {8} {6} }
{\mazeileunddrei {7} {1} {3} }
Berechne $\sigma \tau$ und $\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der
\definitionsverweis {Fehlstände}{}{}
und das
\definitionsverweis {Vorzeichen}{}{}
von $\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von $\sigma$ und von $\sigma^3$ an. Was ist die Ordnung von $\sigma$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Formuliere und beweise den Satz von Cayley für endliche Gruppen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{SO}_{3}\,(\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {eigentlichen, linearen Isometrien}{}{}
des $\R^3$. Definiere die Begriffe \anfuehrung{Halbachse von $G$}{} und erläutere, wann zwei Halbachsen \anfuehrung{äquivalent}{} sind. Zu einer Halbachse $H$ sei
\mathdisp {G_H= { \left\{ g \in G \mid g(H) =H \right\} }} { . }
Zeige, dass zu zwei äquivalenten Halbachsen
\mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {} die Gruppen
\mathkor {} {G_{H_1}} {und} {G_{H_2}} {} isomorph sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {K} {R
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Zeige direkt (ohne Bezug auf Sätze der Vorlesung), dass $\varphi$ injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$, dass $9^{1/3}$ irrational ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^3-1} { }
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Q[X]/(X^3-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $3x+4$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff der algebraischen Körpererweiterung.
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
heißt \definitionswort {algebraisch}{,} wenn jedes Element
\mathl{f\in L}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ ist.
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraische Körpererweiterungen}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine algebraische Körpererweiterung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathbed {z=a+b { \mathrm i} \in {\mathbb C}} {}
{a,b \in \R} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {algebraische Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z }
}
{ = }{ a-b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A} \cap \R
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{\zusatzklammer {$\mathbb A$ bezeichnet dabei den Körper der algebraischen Zahlen.} {} {}} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei eine Gerade $G$ gegeben, auf der zwei Punkte als \mathkor {} {0} {und} {1} {} ausgezeichnet seien, sodass man diese Gerade mit den reellen Zahlen $\R$ identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {} auf $G$ gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, sodass das Produkt wieder auf $G$ liegt \zusatzklammer {dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden} {} {.} Skizziere die Situation.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die \anfuehrung{Quadratur des Kreises}{} nicht möglich ist.
}
{} {}