Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/11/Klausur

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Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik an, der unendlich viele Elemente besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die

  1. reflexiv
  2. symmetrisch
  3. reflexiv und symmetrisch

sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und eine Einheit. Es sei die Ordnung von in der additiven Gruppe und es sei die Ordnung von in der multiplikativen Gruppe . Zeige, dass und teilerfremd sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Erläutere die Begriffe „Linksnebenklasse“, „Index“ und „Normalteiler“. Zeige, dass eine Untergruppe vom Index ein Normalteiler ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte die beiden Permutationen

und

Berechne und . Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von . Man gebe die Zyklendarstellung von und von an. Was ist die Ordnung von ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Formuliere und beweise den Satz von Cayley für endliche Gruppen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des . Definiere die Begriffe „Halbachse von “ und erläutere, wann zwei Halbachsen „äquivalent“ sind. Zu einer Halbachse sei

Zeige, dass zu zwei äquivalenten Halbachsen

und die Gruppen und isomorph sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper, ein Ring mit und

ein Ringhomomorphismus. Zeige direkt (ohne Bezug auf Sätze der Vorlesung), dass injektiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in , dass irrational ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).


Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff der algebraischen Körpererweiterung.


Eine Körpererweiterung , heißt algebraisch, wenn jedes Element algebraisch über ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien und algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch eine algebraische Körpererweiterung ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

( bezeichnet dabei den Körper der algebraischen Zahlen.)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Gerade gegeben, auf der zwei Punkte als und ausgezeichnet seien, so dass man diese Gerade mit den reellen Zahlen identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen und auf gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, so dass das Produkt wieder auf liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.


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