Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/2/Klausur/latex
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme in der Einheitengruppe
\mathl{\Z/(17)^{\times}}{} zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element
\mathl{x \in \Z/(17) ^{\times}}{,} das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
\mathdisp {H \subseteq \Z/(17)
^{\times}} { }
an, die aus vier Elementen besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+2+2)}
{
Man berechne in $\Z/(80)$ die Elemente \aufzaehlungdrei{$3^{1234567}$, }{$2^{1234567}$, }{$5^{1234567}$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Betrachte auf der Produktmenge
\mathdisp {\N \times \N} { }
die Relation
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d) \text{ wenn } a+d = b+c} { . }
Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
Es sei $Z$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $Z$ eine Addition $\oplus$, die die Eigenschaft
\mathdisp {\overline {(a , 0)} \oplus \overline{ (b,0)} = \overline{ (a+b,0)}} { }
erfüllt
\zusatzklammer {der Querstrich bedeutet dabei die zugehörige Äquivalenzklasse} {} {} und die $Z$ zu einer kommutativen Gruppe
macht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei $S=\{0,1\}$. Betrachte das \definitionsverweis {Monoid}{}{} $M$, das aus allen Abbildungen von $S$ nach $S$ besteht mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} $\circ$ von Abbildungen als Verknüpfung. \aufzaehlungzwei {Beschreibe die Elemente in $M$ und erstelle eine Verknüpfungstabelle für $M$. } {Bestimme sämtliche Untermonoide von $M$ und entscheide jeweils, ob sie kommutativ sind und ob es sich um Gruppen handelt.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Betrachte den Würfel
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Snijden_kruisen_evenwijdig.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Snijden kruisen evenwijdig.png } {} {MADe} {nl.wikipedia} {cc-by-sa 3.0} {}
Es sei $\alpha$ die Gerade durch
\mathkor {} {A} {und} {G} {,} es sei $\beta$ die Gerade durch
\mathkor {} {B} {und} {H} {,} es sei $\gamma$ die Gerade durch
\mathkor {} {C} {und} {E} {,} es sei $\delta$ die Gerade durch
\mathkor {} {D} {und} {F} {.}
Man beschreibe die Wirkungsweise der folgenden Würfelbewegungen auf der Menge
$M=\{\alpha, \beta, \gamma, \delta\}$.
\aufzaehlungvier{Die Halbdrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse. }{Die
Vierteldrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse, die
$A$ in $B$ überführt. }{Die
Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante
$A,E$. }{Die Dritteldrehung um die Raumachse
$\alpha$, die $B$ in
$D$ überführt. }
Gibt es eine Würfelbewegung (wenn ja, welche?), die $\alpha$ auf $\alpha$, $\beta$ auf $\beta$ abbildet und die \mathkor {} {\gamma} {und} {\delta} {} vertauscht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Betrachte die Permutation $\tau \in S_7$, die durch die Wertetabelle
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7} }
{ $\tau (x)$ }
{\mazeileundfuenf {1} {3} {5} {7} {6} }
{\mazeileundzwei {4} {2 } }
gegeben ist.
\aufzaehlungvier{Man gebe die Zyklendarstellung von $\tau$ an und
bestimme den Wirkungsbereich. }{Berechne $\tau^3$ und
die Ordnung von $\tau^3$. }{Bestimme die Fehlstände
von $\tau$ und das Vorzeichen
\zusatzklammer {Signum} {} {} von $\tau$. }{Schreibe
$\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme
erneut das Vorzeichen von $\tau$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,}
die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.
Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass in $K$ die Differenz, also die Verknüpfung \maabbeledisp {} {K \times K} {K } {(a,b)} {a-b } {,} genau dann assoziativ ist, wenn die Charakteristik von $K$ gleich $2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme in $\Q[ { \mathrm i} ]$ das multiplikative Inverse von
\mathdisp {\frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i}} { . }
Die Antwort muss in der Form $p+q { \mathrm i}$ mit $p,q \in \Q$ in gekürzter Form sein.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der beiden Polynome
\mathdisp {4X^4+2X^2+3 \text{ und } X^2+3X+1} { }
in $\Z/(5)[X]$. Wie sieht es in $\Z/(2)[X]$ aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb F_8$ als einen Restklassenkörper von
\mathl{\Z/(2)[X]}{.} Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb F_8$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} $\Phi_{9}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei
\mathl{x=\sqrt{2} + \sqrt{5} \in \R}{} und betrachte die Körpererweiterung
\mathdisp {\Q \subseteq \Q (x)= L} { . }
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom
von $x$ und das Inverse von $x$.
(Man darf dabei verwenden, dass
\mathl{\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{10}}{} irrationale Zahlen sind.)
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die \anfuehrung{Quadratur des Kreises}{} nicht möglich ist.
}
{} {}