Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/2/Klausur

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Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in der Einheitengruppe zu jeder möglichen Ordnung ein Element , das die Ordnung besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

an, die aus vier Elementen besteht.


Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

Man berechne in die Elemente

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe * (7 Punkte)

Betrachte auf der Produktmenge

die Relation

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

Es sei die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf eine Addition , die die Eigenschaft

erfüllt

(der Querstrich bedeutet dabei die zugehörige Äquivalenzklasse) und die zu einer kommutativen Gruppe macht.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei . Betrachte das Monoid , dass aus allen Abbildungen von nach besteht mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung.

  1. Beschreibe die Elemente in und erstelle eine Verknüpfungstabelle für .
  2. Bestimme sämtliche Untermonoide von und entscheide jeweils, ob sie kommutativ sind und ob es sich um Gruppen handelt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte den Würfel

Snijden kruisen evenwijdig.png


Es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und . Man beschreibe die Wirkungsweise der folgenden Würfelbewegungen auf der Menge .

  1. Die Halbdrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse.
  2. Die Vierteldrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse, die in überführt.
  3. Die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante .
  4. Die Dritteldrehung um die Raumachse , die in überführt.

Gibt es eine Würfelbewegung (wenn ja, welche?), die auf , auf abbildet und die und vertauscht?


Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Permutation , die durch die Wertetabelle

gegeben ist.

  1. Man gebe die Zyklendarstellung von an und bestimme den Wirkungsbereich.
  2. Berechne und die Ordnung von .
  3. Bestimme die Fehlstände von und das Vorzeichen (Signum) von .
  4. Schreibe als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper. Zeige, dass in die Differenz, also die Verknüpfung

genau dann assoziativ ist, wenn die Charakteristik von gleich ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in das multiplikative Inverse von

Die Antwort muss in der Form mit in gekürzter Form sein.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der beiden Polynome

in . Wie sieht es in aus?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei und betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von und das Inverse von . (Man darf dabei verwenden, dass irrationale Zahlen sind.)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.


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