Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/2/Klausur

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}5$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in der Einheitengruppe ${}\mathbb {Z} /(17)^{\times }$ zu jeder möglichen Ordnung ${}k$ ein Element ${}x\in \mathbb {Z} /(17)^{\times }$, das die Ordnung ${}k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

$H\subseteq \mathbb {Z} /(17)^{\times }$

an, die aus vier Elementen besteht.

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

Man berechne in ${}\mathbb {Z} /(80)$ die Elemente

1. ${}3^{1234567}$,
2. ${}2^{1234567}$,
3. ${}5^{1234567}$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Betrachte auf der Produktmenge

$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$

die Relation

$(a,b)\sim (c,d){\text{ wenn }}a+d=b+c.$

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

Es sei ${}Z$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf ${}Z$ eine Addition ${}\oplus$, die die Eigenschaft

${\overline {(a,0)}}\oplus {\overline {(b,0)}}={\overline {(a+b,0)}}$

erfüllt

(der Querstrich bedeutet dabei die zugehörige Äquivalenzklasse) und die ${}Z$ zu einer kommutativen Gruppe macht.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}S=\{0,1\}$. Betrachte das Monoid ${}M$, das aus allen Abbildungen von ${}S$ nach ${}S$ besteht mit der Hintereinanderschaltung ${}\circ$ von Abbildungen als Verknüpfung.

1. Beschreibe die Elemente in ${}M$ und erstelle eine Verknüpfungstabelle für ${}M$.
2. Bestimme sämtliche Untermonoide von ${}M$ und entscheide jeweils, ob sie kommutativ sind und ob es sich um Gruppen handelt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ die Gerade durch ${}A$ und ${}G$, es sei ${}\beta$ die Gerade durch ${}B$ und ${}H$, es sei ${}\gamma$ die Gerade durch ${}C$ und ${}E$, es sei ${}\delta$ die Gerade durch ${}D$ und ${}F$. Man beschreibe die Wirkungsweise der folgenden Würfelbewegungen auf der Menge ${}M=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$.

1. Die Halbdrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse.
2. Die Vierteldrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse, die ${}A$ in ${}B$ überführt.
3. Die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante ${}A,E$.
4. Die Dritteldrehung um die Raumachse ${}\alpha$, die ${}B$ in ${}D$ überführt.

Gibt es eine Würfelbewegung (wenn ja, welche?), die ${}\alpha$ auf ${}\alpha$, ${}\beta$ auf ${}\beta$ abbildet und die ${}\gamma$ und ${}\delta$ vertauscht?

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Permutation ${}\tau \in S_{7}$, die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\tau (x)$	${}1$	${}3$	${}5$	${}7$	${}6$	${}4$	${}2$

gegeben ist.

1. Man gebe die Zyklendarstellung von ${}\tau$ an und bestimme den Wirkungsbereich.
2. Berechne ${}\tau ^{3}$ und die Ordnung von ${}\tau ^{3}$.
3. Bestimme die Fehlstände von ${}\tau$ und das Vorzeichen (Signum) von ${}\tau$.
4. Schreibe ${}\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von ${}\tau$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

die Multiplikation mit ${}f$. Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass in ${}K$ die Differenz, also die Verknüpfung

$K\times K\longrightarrow K,\,(a,b)\longmapsto a-b,$

genau dann assoziativ ist, wenn die Charakteristik von ${}K$ gleich ${}2$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ das multiplikative Inverse von

${\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }.$

Die Antwort muss in der Form ${}p+q{\mathrm {i} }$ mit ${}p,q\in \mathbb {Q}$ in gekürzter Form sein.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der beiden Polynome

$4X^{4}+2X^{2}+3{\text{ und }}X^{2}+3X+1$

in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$. Wie sieht es in ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ aus?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${}\mathbb {F} _{8}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{8}$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{9}$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}x={\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\in \mathbb {R}$ und betrachte die Körpererweiterung

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (x)=L.$

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von ${}x$ und das Inverse von ${}x$. (Man darf dabei verwenden, dass ${}{\sqrt {2}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}}$ irrationale Zahlen sind.)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.

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