Kurs:Einführung in die mathematische Logik/15/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 31 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Wort} {} über einem Alphabet $A$.
}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Die \zusatzklammer {rekursiv definierte} {} {} \stichwort {Gültigkeit} {} eines prädikatenlogischen $S$-Ausdruckes $\alpha$ bei einer $S$-\definitionsverweis {Interpretation}{}{} auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwortpraemath {S} {Homomorphismus}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei $S$-\definitionsverweis {Strukturen}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {.}
}{Die
\stichwort {Multiplikation} {}
mit
\mathl{n \in \N}{} in einem
\definitionsverweis {Dedekind-Peano-Modell}{}{}
$\N$.
}{Die \stichwort {Ableitbarkeit} {} eines \definitionsverweis {modallogischen Ausdrucks}{}{} $\alpha$ im $K$-System. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz von Wiles (Großer Fermat).}{Der \stichwort {Vollständigkeitssatz für Tautologien} {} \zusatzklammer {Prädikatenlogik} {} {.}}{Der \stichwort {erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $A$ ein \definitionsverweis {Alphabet}{}{} mit $3$ Symbolen. Wie viele Wörter über $A$ der Länge $5$ gibt es, wenn man nicht zwischen den Leserichtungen unterscheiden kann?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{n\in \N_+}{.} Man gebe ein Beispiel für eine aussagenlogische
\definitionsverweis {widersprüchliche}{}{}
Ausdrucksmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ =} {\{ \alpha_1,\alpha_2 , \ldots , \alpha_n \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass jede echte Teilmenge davon
\definitionsverweis {widerspruchsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $V$ eine Menge an
\definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{L^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {maximal widerspruchsfreie}{}{}
Teilmenge der zugehörigen
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{.}
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{ L^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \neg \alpha
}
{ \in }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man erläutere durch Beispiele, dass der Aufbau der Prädikatenlogik nicht immer der mathematischen Intuition entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {PuntosAfín.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { PuntosAfín.svg } {} {Marianov} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}
Wir betrachten das Symbolalphabet $S$, das neben Variablen aus einem einzigen zweistelligen Relationssymbol $R$ besteht, wobei in der abgebildeten Punktemenge das Relationssymbol $R$ als \anfuehrung{(echt) rechts von}{} interpretiert wird. Für zwei Punkte
\mathl{P,Q}{} bedeutet also
\mathl{RPQ}{,} dass sich $P$ rechts von $Q$ befindet.
\aufzaehlungzwei {Welche(r) Punkt(e) erfüllt(en)
\mathdisp {\exists y (Ryx \wedge \forall z (Rzx \rightarrow y=z)} { ? }
} {Charakterisiere den Punkt
\mathl{p_0}{} mit einem
$S$-\definitionsverweis {Ausdruck}{}{}
in der einen freien Variablen $x$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {gerichteter Graph}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist, wenn für jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq} { M \setminus \operatorname{Vorg} { \left( M \setminus \operatorname{Vorg} { \left( T \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}