Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 1/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Warum ist Mathematik schwierig, obwohl darin doch alles logisch ist?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei .

a) Finde aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ), die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien -„Intervalle“.


Aufgabe * Aufgabe 1.4 ändern

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Goldbach-1000.png

Das Schaubild rechts bezieht sich auf die Goldbachsche Vermutung. Was wird dadurch dargestellt?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man jede natürliche Zahl als Summe

schreiben kann, wobei sowohl als auch zusammengesetzte Zahlen sind.


Aufgabe * Aufgabe 1.7 ändern

Zeige: Ist eine Primzahl, so ist auch eine Primzahl.


In der folgenden Aufgabe wird ein weiteres offenes Problem formuliert. Man mache sich die Wirkungsweise des beschriebenen Algorithmus für die Zahlen bis klar.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Für positive ganze Zahlen betrachten wir folgenden Algorithmus.

Wenn gerade ist, so ersetze durch die Hälfte.
Wenn ungerade ist, so multipliziere mit und addiere dann dazu.

Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl früher oder später bei landet?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Maschine, die nach und nach sämtliche Texte ausdruckt und damit auch früher oder später jeden Beweis ausgibt. Welche Eigenschaft eines in der Vorlesung 1 beschriebenen universellen Lösungsverfahrens besitzt diese Maschine nicht?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Es sei eine Maschine gegeben, die eine Aussage (eine Vermutung) über die natürlichen Zahlen nach und nach überprüft. Wenn sie alle Zahlen überprüft hätte, stünde die Antwort fest, doch da die Maschine Schritt für Schritt arbeitet, hat sie zu jedem Zeitpunkt immer nur eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen überprüft und kann so, wenn die Aussage wahr ist, keinen Beweis für die Aussage liefern.

Im Allgemeinen braucht die Rechenmaschine für große Zahlen länger. Die Maschine wird jetzt beschleunigt, so dass sie für große Zahlen immer weniger Zeit braucht.

Die Maschine wird so beschleunigt, dass sie für die Überprüfung der ersten Zahl (also ) Sekunden braucht, für die Überprüfung der zweiten Zahl Sekunden, für die Überprüfung der dritten Zahl Sekunden. Für die Überprüfung der -ten Zahl benötigt die Maschine also genau Sekunden. Damit ist die Gesamtlaufzeit der Maschine

Diese Summe ist wohldefiniert, und zwar gleich (im Zweiersystem ist es die Zahl , deren Wert ist). Nach einer Sekunde hat also die Maschine die unendlich vielen Zahlen durchgearbeitet und überprüft, und damit die Aussage bewiesen oder widerlegt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

  1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  3. Linda engagiert sich bei Attac.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 1.16 ändern

Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es eine gerade Zahl , , mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen derart gibt, dass auch eine Primzahl ist.



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