Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete
\zusatzklammer {einschließlich Klammerung} {} {}
modallogische Ausdrücke sind.
\aufzaehlungvier{
\mathl{\Box ( (p) \wedge (q))}{,}
}{
\mathl{(p) \rightarrow \Box (q)}{,}
}{
\mathl{(p) \rightarrow (\Box (q))}{,}
}{
\mathl{(\Diamond (p)) \rightarrow ( (\Box (q)) \rightarrow (r))}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
$K$-\definitionsverweis {Axiom}{}{}
äquivalent zu
\mathdisp {\vdash \Diamond \alpha \rightarrow ( \Diamond \neg \beta \vee \Diamond (\alpha \wedge \beta) )} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die in Bemerkung 23.7 aufgeführten Eigenschaften für das \definitionsverweis {Ableitungsprädikat}{}{} in der Sprache der Modallogik.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass in der
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{}
das Schema
\mathdisp {\Box \alpha \wedge \Box \neg \alpha \rightarrow \Box \beta} { }
ableitbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass im
$K$-\definitionsverweis {System}{}{}
der Ausdruck
\mathdisp {\Box ( \alpha \rightarrow \beta ) \rightarrow ( \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )} { }
\definitionsverweis {ableitbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine formale Modallogik, die durch das Axiomenschema
\mathdisp {\vdash \Box \alpha \leftrightarrow \neg \alpha} { }
gegeben sei.
\aufzaehlungdrei{Erfüllt diese Modallogik das
\definitionsverweis {Axiomenschema K}{}{?}
}{Erfüllt diese Modallogik die
\definitionsverweis {Nezessisierungsregel}{}{?}
}{Erfüllt diese Modallogik das
\definitionsverweis {Ideologieaxiom}{}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathkor {} {p_i} {} {i \in I} {,}
eine Familie von Aussagenvariablen und sei $L$ die zugehörige modallogische Sprache. Es sei $S$ ein prädikatenlogisches Symbolalphabet, das unter anderem Konstanten
\mathbed {c_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
und eine fixierte Variable $x$ enthalte.
\aufzaehlungdrei{Definiere eine natürliche injektive Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {L} {L^S
} {,}
bei der $p_i$ auf
\mathl{x=c_i}{} und $\Box \alpha$ auf
\mathl{\forall x \Psi( \alpha )}{} abgebildet wird.
}{Was ist
\mathl{\Psi( \Diamond \alpha )}{?}
}{Zeige, dass zu jeder in der
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{}
ableitbaren modallogischen Aussage $\alpha$ auch
\mathl{\Psi (\alpha )}{} im Prädikatenkalkül ableitbar ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass in einer
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{}
das Axiomenschema
\mathdisp {\Diamond (\alpha \wedge \beta) \rightarrow \Diamond \alpha \wedge \Diamond \beta} { }
gilt.
} {Zeige, dass in einer $K$-Modallogik das Axiomenschema
\mathdisp {\Diamond \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \beta)} { }
nicht gelten muss.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass in einer
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{}
das Axiomenschema
\mathdisp {\Diamond \alpha \vee \Diamond \beta \rightarrow \Diamond (\alpha \vee \beta)} { }
gilt.
} {Zeige, dass in einer $K$-Modallogik das Axiomenschema
\mathdisp {\Diamond (\alpha \vee \beta) \rightarrow \Diamond \alpha \vee \Diamond \beta} { }
nicht gelten muss.
}
}
{} {}
Zur folgenden Aufgabe vergleiche auch
Aufgabe 8.24.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einer
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{}
das Axiomenschema
\mathdisp {\Diamond ( \alpha \rightarrow \beta ) \rightarrow ( \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta)} { }
nicht gelten muss.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete
\zusatzklammer {einschließlich Klammerung} {} {}
modallogische Ausdrücke sind.
\aufzaehlungvier{
\mathl{\Box ( (p) \wedge (q)}{,}
}{
\mathl{(p) \rightarrow \Diamond ( (q) \vee (r))}{,}
}{
\mathl{(\Box (\Box ((p)))) \rightarrow (\Box (q))}{,}
}{
\mathl{((\Diamond (p)) \rightarrow ( (\Box (q)) \rightarrow (r)))}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass in einer
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{}
\mathdisp {\vdash \Diamond \neg \neg \alpha \leftrightarrow \neg \neg \Diamond \alpha} { }
ableitbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass in der
$K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{}
das Schema
\mathdisp {\Box \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond \alpha} { }
ableitbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
In einem
$K$-\definitionsverweis {modallogischen System}{}{}
$S$ gelte das Axiomenschema
\mathdisp {\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha} { . }
Zeige, dass man in $S$ das
\definitionsverweis {Möglichkeitsaxiom}{}{}
\mathdisp {\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha} { }
ableiten kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die $K$-\definitionsverweis {Modallogik}{}{} widerspruchsfrei ist.
}
{} {}