Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 61 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Ordnung} {}
eines Elements
\mathl{g \in G}{} in einer Gruppe $G$.
}{Ein \stichwort {Nichtnullteiler} {} $a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Die
\stichwort {eulersche Funktion} {}
\mathl{\varphi(n)}{} zu
\mathl{n \in \N}{.}
}{Der
\stichwort {Zerfällungskörper} {}
zu einem Polynom
\mathl{F \in K[X]}{} über einem Körper $K$.
}{Eine
\stichwort {konstruierbare} {}
Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper
\mathl{K=Q(R)}{} zu einem faktoriellen Bereich $R$.}{Der Satz über die Winkeldreiteilung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
\aufzaehlungfuenf{$n$ ist negativ.
}{$n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von
\mathl{-16}{.}
}{$n$ ist kein Vielfaches von
\mathl{36}{.}
}{$n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von
\mathl{125}{.}
}{In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist.
}
Was ist $n$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl
\mathl{n^2-1}{} eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
im Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[\Q]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{p \in \Z}{} eine Primzahl und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I+J)^n
}
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+2+4)}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^2+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
b) Zeige, dass
\mathl{X^4+1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
\zusatzklammer {Tipp: In
\mathl{\R[X]}{} gilt die Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^4+1
}
{ = }{ { \left( X^2+ \sqrt{2} X+1 \right) } { \left( X^2- \sqrt{2} X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {.} {}
c) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+1 \right) } { \left( X^4+1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die \anfuehrung{Gradformel}{} für eine Kette von \definitionsverweis {endlichen Kör\-pererweiterungen}{}{} $K \subseteq L \subseteq M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die in $\Q$ keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
$L$ des Polynoms
\mathl{X^3 -q}{} über $\Q$. Welchen
\definitionsverweis {Grad}{}{}
besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von ${\mathbb C}$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
die Potenz
\mathl{a^b}{} nicht konstruierbar sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte gibt.
}
{} {}