Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 4 | 1 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 6 | 6 | 4 | 3 | 61 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Ordnung eines Elements in einer Gruppe .
- Ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring .
- Ein Körper .
- Die eulersche Funktion zu .
- Der Zerfällungskörper zu einem Polynom über einem Körper .
- Eine konstruierbare Zahl .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Fundamentalsatz der Algebra.
- Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper zu einem faktoriellen Bereich .
- Der Satz über die Winkeldreiteilung.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
- ist negativ.
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- ist kein Vielfaches von .
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.
Was ist ?
Aufgabe * (2 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe * (1 Punkt)
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)
a) Zeige, dass durch
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
b) Berechne in das Produkt .
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .
Aufgabe * (7 Punkte)
Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit
Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)
a) Zeige, dass irreduzibel in ist.
b) Zeige, dass irreduzibel in ist. (Tipp: In gilt die Zerlegung .)
c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von
in .
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper des Polynoms über . Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von an.
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen und die Potenz nicht konstruierbar sein muss.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.