Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 2 2 2 4 1 3 4 4 7 7 6 6 4 3 63



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Monoid .
  2. Die Ordnung eines Elements in einer Gruppe .
  3. Ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring .
  4. Ein Körper .
  5. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  6. Die eulersche Funktion zu .
  7. Der Zerfällungskörper zu einem Polynom über einem Körper .
  8. Eine konstruierbare Zahl .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
  2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  3. Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper zu einem faktoriellen Bereich .
  4. Der Satz über die Winkeldreiteilung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

  1. ist negativ.
  2. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  3. ist kein Vielfaches von .
  4. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  5. In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.

Was ist ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Aufgabe * (2 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Einheiten im Ring , wobei ein Körper ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.


Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .


Aufgabe * (7 Punkte)

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit


Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)

a) Zeige, dass irreduzibel in ist.

b) Zeige, dass irreduzibel in ist. (Tipp: In gilt die Zerlegung )

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

in .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper des Polynoms über . Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen und die Potenz nicht konstruierbar sein muss.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.