Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 12 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Ein \stichwort {Integritätsbereich} {.}
}{Der
\stichwort {Index} {}
einer Untergruppe
\mathl{H \subseteq G}{} in einer Gruppe $G$.
}{Die
\stichwort {Restklassengruppe} {}
zu einem Normalteiler
\mathl{H \subseteq G}{} in einer Gruppe $G$.
}{Die \stichwort {Einheitengruppe} {} in einem Ring $R$.
}{Ein \stichwort {irreduzibles} {} Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Ringhomomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} zwischen \definitionsverweis {Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.}
}{Eine \stichwort {quadratische} {} Körpererweiterung. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Die \stichwort {allgemeine binomische Formel} {} für
\mathl{(a+b)^n}{} für Elemente
\mathl{a,b \in R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.}{Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.}{Das
\stichwort {Lemma von Bezout} {}
für einen Hauptidealbereich $R$.}{Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik
\mathl{\neq 2}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{x,y \in R}{} Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Rx
}
{ \subseteq} {Ry
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
äquivalent.
\aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {$x$ teilt $y$.
}{$x$ wird von $y$ geteilt.
}{$y$ wird von $x$ geteilt.
}{$x$ ist ein Vielfaches von $y$.
}{$x$ ist ein Vielfaches von $x$.
} } {\itemfuenf {$y$ teilt $x$.
}{$Rx \cap Ry = Rx$.
}{Jedes Vielfache von $y$ ist auch ein Vielfaches von $x$.
}{Jeder Teiler von $y$ ist auch ein Teiler von $x$.
}{Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.
} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element mit endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mathl{d \in \N_+}{} übereinstimmt, zu dem es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von ${\mathbb C}$ nach $\R$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Finde die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ X^p -1 } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Zeige, dass die Anzahl der Elemente von $K$ die Potenz einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und es sei
\mathl{K \subset L}{} eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es dann ein
\mathbed {x \in L} {}
{x \notin K} {}
{} {} {} {,}
mit
\mathl{x^2 \in K}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (3+1+6+2)}
{
Es sei $p$ eine Primzahl.
a) Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man gebe auch eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p} ]}{} an.
b) Zeige, dass in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} alle Elemente der Form
\mathkor {} {m^3 p} {und} {n^3 p^2} {}
mit
\mathl{m,n\in \Q}{} eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl
\mathl{x \in \Q}{} besitze in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} eine dritte Wurzel. Zeige, dass $x$ die Form
\mathdisp {x= k^3 \text{ oder } x= m^3 p \text{ oder } x =n^3 p^2} { }
mit
\mathl{k,m,n \in \Q}{} besitzt.
d) Es sei nun $q$ eine weitere, von $p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X+1} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $n$ eine zu
\mathl{360}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel
\mathl{n^{\circ}}{} nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{} {}