Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	4	4	4	3	2	1	4	3	3	2	7	4	3	12	4	4	64

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Körper ${}K$.
2. Ein Integritätsbereich.
3. Der Index einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ in einer Gruppe ${}G$.
4. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler ${}H\subseteq G$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Die Einheitengruppe in einem Ring ${}R$.
6. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
7. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

8. Eine quadratische Körpererweiterung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$ für Elemente ${}a,b\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
3. Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich ${}R$.
4. Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik ${}\neq 2$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}x,y\in R$ Elemente in einem kommutativen Ring ${}R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu

${}Rx\subseteq Ry\,$

äquivalent.

1. ${}x$ teilt ${}y$.
2. ${}x$ wird von ${}y$ geteilt.
3. ${}y$ wird von ${}x$ geteilt.
4. ${}x$ ist ein Vielfaches von ${}y$.
5. ${}x$ ist ein Vielfaches von ${}x$.
6. ${}y$ teilt ${}x$.
7. ${}Rx\cap Ry=Rx$.
8. Jedes Vielfache von ${}y$ ist auch ein Vielfaches von ${}x$.
9. Jeder Teiler von ${}y$ ist auch ein Teiler von ${}x$.
10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Schreibe den Restklassenring ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${}X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}5$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}\mathbb {R}$ gibt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Finde die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{p}-1}}$

in ${}\mathbb {Q} (X)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von ${}K$ die Potenz einer Primzahl ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${}x\in L$, ${}x\notin K$, mit ${}x^{2}\in K$ gibt.

Aufgabe * (12 (3+1+6+2) Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.$

Man gebe auch eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ an.

b) Zeige, dass in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ alle Elemente der Form ${}m^{3}p$ und ${}n^{3}p^{2}$ mit ${}m,n\in \mathbb {Q}$ eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl ${}x\in \mathbb {Q}$ besitze in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass ${}x$ die Form

$x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}$

mit ${}k,m,n\in \mathbb {Q}$ besitzt.

d) Es sei nun ${}q$ eine weitere, von ${}p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X+1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine zu ${}360$ teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel ${}n^{\circ }$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.