Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Z,0,+)
}
{ \subseteq }{ (\Q,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die zugehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
\zusatzklammer {im Sinne von
Definition 11.1} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Welche der folgenden rationalen Zahlen sind zueinander äquivalent
\mathdisp {7, \, { \frac{ 2 }{ 7 } } , \, { \frac{ 3 }{ 7 } } , \, - { \frac{ 9 }{ 7 } } , \, { \frac{ 9 }{ 7 } } , \, -13} { ? }
}{Was ist ein möglichst einfaches
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{}
für diese Äquivalenzrelation?
}{Was hat das mit
\definitionsverweis {gemischten Brüchen}{}{}
zu tun?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ { \left\{ 10^n \mid n\in \Z \right\} }
}
{ \subseteq }{ (\Q_+ ,1, \cdot )
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die zugehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
\zusatzklammer {im Sinne von
Definition 11.1} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Welche der folgenden rationalen Zahlen sind zueinander äquivalent
\mathdisp {100, \, { \frac{ 1 }{ 7 } } , \, { \frac{ 10 }{ 7 } } , \, 101 , \, { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 7 }{ 10 } }} { ? }
}{Bilden die natürlichen Zahlen ein
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{}
für diese Äquivalenzrelation?
}{Was hat das mit der Dezimalentwicklung von rationalen Zahlen zu tun?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ \R \setminus\{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei reelle Zahlen $\neq 0$. Zeige, dass diese genau dann äquivalent bezüglich der durch die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Q^{\times} ,1, \cdot)
}
{ \subseteq }{ ( \R^{\times} ,1,\cdot)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
sind, wenn es eine reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{bt
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{at
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
zu den folgenden
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
\aufzaehlungsechs{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Z,0,+)
}
{ \subseteq }{ (\R,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Q,0,+)
}
{ \subseteq }{ (\R,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\R,0,+)
}
{ \subseteq }{ ( {\mathbb C} ,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Z d ,0,+)
}
{ \subseteq }{ (\Z,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot)
}
{ \subseteq }{ ({\mathbb C} \setminus \{0\} ,1, \cdot)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid z^n = 1 \right\} }, 1, \cdot)
}
{ \subseteq }{ ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der
\definitionsverweis {Index}{}{}
endlich?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $p$. Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z/(15)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
zu einer dreielementigen Menge. Welche Zahlen treten als
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
von Untergruppen und welche als
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
von Elementen auf?
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Snijden_kruisen_evenwijdig.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Snijden kruisen evenwijdig.png } {} {MADe} {nl.wikipedia} {cc-by-sa 3.0} {}
Eine \stichwort {eigentliche Würfelsymmetrie} {} ist eine Bewegung an einem Würfel, die ihn in sich selbst überführt.
\inputaufgabe
{}
{
Welche Zahlen treten als \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} von eigentlichen Wür\-felsymmetrien auf? Beschreibe die Wirkungsweise der Symmetrie auf den Eckpunkten, den Kanten und den Seiten des Würfels sowie auf den Raumdiagonalachsen, den Seitenmittelpunktsachsen und den Kantenmittelpunktsachsen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(N)}{} eines
\definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Normalteiler in $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Durchschnitt von
\definitionsverweis {Normalteilern}{}{}
\mathbed {N_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ ein Normalteiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Ist das Bild von $\varphi$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $H$?
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben werden Äquivalenzrelationen wiederholt.
\inputaufgabe
{}
{
Auf den ganzen Zahlen $\Z$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {TwoTone.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { TwoTone.svg } {} {Stevo} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem $8\times 8$-Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den $64$ Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem $3 \times 3$-Schachbrett aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $B$ ein Blatt Papier \zusatzklammer {oder ein Taschentuch} {} {.} Man versuche, sich die folgenden \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $B$ und die zugehörige \definitionsverweis {Identifizierungsabbildungen}{}{} vorzustellen \zusatzklammer {möglichst geometrisch} {} {.} \aufzaehlungacht{Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch \zusatzklammer {bezüglich des Mittelpunktes des Blattes} {} {} gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $K$ ein Kreis \zusatzklammer {d.h. eine Kreislinie} {} {} auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es gebe zwei Punkte $P \neq Q$, die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent. }{Es sei $H$ die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu $H$ sind. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Relation}{}{} auf $V$, die durch
\mathdisp {v \sim w, \text{ falls es ein } \lambda \in K, \lambda \neq 0, \text{ mit } v = \lambda w \text{ gibt }} { }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist. Was sind die Äquivalenzklassen?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z/(20)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ n \in \Z \mid \sigma^n(x)=x \right\} }}{} eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $\Z$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit
\mathl{\operatorname{ord}_{x} {\sigma}}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (\sigma)
}
{ =} { \operatorname{kgV} { \left\{ \operatorname{ord}_{x} {\sigma} \mid x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{S_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
zu einer vierelementigen Menge. Welche Zahlen treten als
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
von Untergruppen und welche als
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
von Elementen auf?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein surjektiver
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
$\varphi(N)$ eines
\definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Normalteiler in $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei in einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {M
} {}
eine surjektive Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(gh)
}
{ = }{\varphi(g) \varphi(h)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ eine Gruppe
und $\varphi$ ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe ein Beispiel von drei
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subseteq }{ G
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an derart, dass $F$ ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$ und $G$ ein Normalteiler in $H$, aber $F$ kein Normalteiler in $H$ ist.
}
{} {}