Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(2,-7)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(5,-3) \text{ und } (-11,4)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke in ${\mathbb C}^2$ den Vektor
\mathdisp {(1,0)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(3+5 { \mathrm i} ,-3+2{ \mathrm i} ) \text{ und } (1-6{ \mathrm i} ,4-{ \mathrm i} )} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Vektoren in $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
\mathdisp {w, v_i, i \in I} { , }
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ ist und dass sich $w$ als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Beweise folgende Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Sei
\mathbed {U_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
von $V$. Dann ist auch der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {\bigcap_{j \in J} U_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum.
}{Zu einer Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von Elementen in $V$ ist der
\definitionsverweis {erzeugte Unterraum}{}{}
ein Unterraum.
}{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i\in I \rangle
}
{ =} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 4 \\3\\ 0\\2 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\7\\ 0\\-1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe im $\R^3$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungsechs{Wenn die Familie
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Familie
\mathbed {v_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig.
}{Die leere Familie ist linear unabhängig.
}{Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
}{Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
}{Ein Vektor $v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Zwei Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {u} {}
sind genau dann linear unabhängig, wenn weder $u$ ein skalares Vielfaches von $v$ ist noch umgekehrt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Es sei
\mathbed {\lambda_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Elementen $\neq 0$ aus $K$. Zeige, dass die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
\zusatzklammer {ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$} {} {} ist, wenn dies für die Familie
\mathbed {\lambda_i v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{}
der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+7 { \mathrm i} \\3- { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 15+26 { \mathrm i} \\13-7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Drücke in $\Q^3$ den Vektor
\mathdisp {(2,5,-3)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(1,2,3), (0,1,1) \text{ und } (-1,2,4)} { }
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\2\\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-7 { \mathrm i} \\-3+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 5+6 { \mathrm i} \\3-17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $\Q^n$ der
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
Standardraum über $\Q$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{\Q^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Familie von $n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
des $\Q^n$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im $\R^n$ eine $\R$-Basis des $\R^n$ bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \in K^n} { }
ein von $0$ verschiedener Vektor.
Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in $n$ Variablen mit $n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{} {}