Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine ganze Zahl
\mathl{n}{} derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +3 x + { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Q[\sqrt{n}]}{} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Q[ { \mathrm i} ]$ das multiplikative Inverse von
\mathdisp {\frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i}} { . }
Die Antwort muss in der Form $p+q { \mathrm i}$ mit $p,q \in \Q$ in gekürzter Form sein.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K \subseteq \R}{} ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{.}
Zeige, dass dann auch $K[ { \mathrm i} ]$ ein Unterkörper von ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der Charakteristik $\neq 2$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
\maabb {} {L} {L
} {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K \subset K' \, (\subseteq \R)}{} eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch
\mathl{K[ { \mathrm i} ] \subset K'[{ \mathrm i}]}{} eine quadratische Körpererweiterung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^{\times} \mid x \text{ besitzt eine Quadratwurzel in } K \right\} }} { }
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$K^{\times}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Gruppe
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^{\times} \mid x \text{ besitzt eine Quadratwurzel in } K \right\} }} { }
für die
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathdisp {K=\Q,\, \R,\, {\mathbb C} ,\, \Z/(2) ,\, \Z/(3) ,\, \Z/(5) ,\, \Z/(7) ,\, \Z/(11)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {\Q [\sqrt{p}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
von $\Q$. Zeige, dass die Elemente
\mathl{x \in K}{,} die
\zusatzklammer {in $K$} {} {}
eine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
besitzen, von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{y \in \Q}{} oder von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {pz^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{z \in \Q}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
der komplexen Zahlen,
\mathkor {} {K = \Q[ \sqrt{p}, { \mathrm i} ]} {und} {L = \Q[ \sqrt{p} , \sqrt{- p}]} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{p,q \in \Q_{\geq 0}}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sqrt{p} + \sqrt{q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{G \in \Q[X]}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { X^4 + c X^2 + d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{G(f)=0}{} gibt.
b) Es seien nun zusätzlich \mathkor {} {p} {und} {q} {} verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom $G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} {\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}]
}
{ =} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass einerseits
\mathl{1, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{35}}{} und andererseits
\mathbed {(\sqrt{5}+ \sqrt{7})^{i}} {}
{i=0,1,2,3} {}
{} {} {} {,}
eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bildet. Berechne die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
für diese Basen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $p$, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Es sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \not\in K} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass $K[x]= L$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$23$ ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} {L \cap \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{7}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl.
a) Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man gebe auch eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p} ]}{} an.
b) Zeige, dass in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} alle Elemente der Form
\mathkor {} {m^3 p} {und} {n^3 p^2} {}
mit
\mathl{m,n\in \Q}{} eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl
\mathl{x \in \Q}{} besitze in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} eine dritte Wurzel. Zeige, dass $x$ die Form
\mathdisp {x= k^3 \text{ oder } x= m^3 p \text{ oder } x =n^3 p^2} { }
mit
\mathl{k,m,n \in \Q}{} besitzt.
d) Es sei nun $q$ eine weitere, von $p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R
}
{ \subseteq }{ \R(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $\R(X)$ den
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
bezeichnet, nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ der
\definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{}
des Polynoms
\mathl{X^2+1 \in \R[X]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{P=X^2+aX+b \in K[X]}{} ein quadratisches Polynom über einem Körper $K$. Welche Möglichkeiten gibt es für den
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $P$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es einen
\zusatzklammer {injektiven} {} {}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {} {L} {{\mathbb C}
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{F\in K[X]}{} ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$. Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ \leq} {n !
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_r
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
derart gibt, dass diese Polynome in
\mathl{L[X]}{} in Linearfaktoren zerfallen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{q \in \Q}{} eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{}
und es sei $L$ der
\definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{} von $X^3-q$. Welchen Grad besitzt $L$
\zusatzklammer {über $\Q$} {} {?}
Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {\Q \subseteq K \subset {\mathbb C}} {und} {\Q \subseteq L \subset {\mathbb C}} {}
zwei
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{}
von $\Q$ vom Grad
\mathkor {} {d} {bzw.} {e} {.} Es seien
\mathkor {} {d} {und} {e} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Zeige, dass dann
\mathdisp {K \cap L = \Q} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (4+1+1)}
{
Es sei $p$ eine Primzahl.
a) Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^4-p}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
über $\Q$ ist.
b) Schließe daraus, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q[\sqrt[4]{ p } ]
}
{ \subseteq} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$ den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
vier besitzt.
c) Finde einen echten Zwischenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {K
}
{ \subseteq} {\Q[\sqrt[4]{ p } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (3+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
der Charakteristik
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass es in $K$ Elemente gibt, die keine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} besitzen.
b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
zwei gibt.
}
{} {}