Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen $25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring $R$
\aufzaehlungsechs{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{1 | a}{} und
\mathl{a | a}{.}
}{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{a | 0}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{b | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | c}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{c | d}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bd}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bc}{} für jedes
\mathl{c \in R}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{a | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | rb+sc}{} für beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
\mathdisp {a{{|}}b \text{ und } b{{|}}a} { }
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ \pm b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{}
$n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich
\mathl{0,2,4,6}{} oder $8$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise
\zusatzklammer {bekannte} {} {}
Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 2,3,5,9,11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1 , \ldots , 8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl
\mathdisp {EA09B4CA} { . }
Ist diese Zahl durch $7$ teilbar?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Polynome. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass $F$ ein Teiler von $G$ in $K[X]$ genau dann ist, wenn $F$ ein Teiler von $G$ in $L[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
\aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{,}
so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$.
} {Ist $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
so gilt hiervon auch die Umkehrung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Primzahlen $2,3,5$ \definitionsverweis {Primelemente}{}{} in $\Z$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[X]$ über einem Körper $K$ die Variable $X$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und \definitionsverweis {prim}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$K[X]$ über einem Körper $K$ die linearen Polynome $aX+b$
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
und
\definitionsverweis {prim}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_2 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2,3,4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das keine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
in $R$ besitze. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r
}
{ \in }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.
}
{} {Hinweis: Der Zwischenwertsatz hilft.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3+2X^2-5}{} in $\Q[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} und das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {105} {und} {150} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative
\definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{}
der $a_i$ mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation $\geq$ der größte gemeinsame Teiler ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mathl{R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
darüber. Zeige, dass ein Polynom der Form
\mathl{X+c}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
ist.
}
{Man gebe auch ein Beispiel, dass dies für Polynome der Form $aX+c$ nicht gelten muss.} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte den
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ]
}
{ \subset} { K[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Elemente
\mathkor {} {X^2} {und} {X^3} {}
in $R$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {irreduziblen Elemente}{}{} in $\Z[ { \mathrm i} ]$, deren \definitionsverweis {Norm}{}{} kleinergleich $5$ ist.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe sind die Eigenschaften prim und irreduzibel in einem Monoid zu verstehen, ohne dass ein Ring vorliegt.
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Menge $M$, die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung \zusatzklammer {in $\N$} {} {} eine gerade Anzahl \zusatzklammer {mit Vielfachheiten gezählt} {} {} von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass $M$ ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in $M$.
}
{} {}