Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise für die \definitionsverweis {projektive Gerade}{}{} den Satz von Riemann-Roch direkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {projektive Gerade}{}{}
${\mathbb P}^{1}_{K}$ und das volle
\definitionsverweis {lineare System}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ \defeq} {\langle s,t \rangle
}
{ =} { \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (1) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Fixierung eines
\definitionsverweis {Erzeugendensystems}{}{}
von $L$ aus drei Elementen
\zusatzklammer {bis auf Streckung} {} {}
einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {projektive Gerade}{}{}
${\mathbb P}^{1}_{K}$ und das volle
\definitionsverweis {lineare System}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ \defeq} {\langle s^2,st,t^2 \rangle
}
{ =} { \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (2) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Fixierung einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$
\zusatzklammer {bis auf Streckung} {} {}
einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {projektive Gerade}{}{}
${\mathbb P}^{1}_{K}$ und das volle
\definitionsverweis {lineare System}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ \defeq} {\langle s^3,s^2t,st^2, t^3 \rangle
}
{ =} { \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (3) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die zugehörige Abbildung
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{3}_{K}
} {}
einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. Man gebe möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt.
}
{} {}