Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 17

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Aufgaben


Eine kommutative Gruppe heißt torsionsfrei, wenn für jedes Element , , und gilt .


Aufgabe

Zeige, dass die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe in der Tat eine Untergruppe ist.


Aufgabe

Es sei die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe . Zeige, dass die Restklassengruppe torsionsfrei ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe. Zeige, dass zu jedem eine kurze exakte Sequenz

vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Einheitswurzeln in die Torsionsuntergruppe der Einheitengruppe ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe und . Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung in natürlicher Weise ein -Modul ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Restklassengruppe unendlich ist und jedes Element eine endliche Ordnung besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass für die Torsionsuntergruppen von die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass ein Körper genau dann die Charakteristik besitzt, wenn die additive Gruppe torsionsfrei ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe mit Elementen derart, dass für jedes Element die Beziehung gilt. Zeige


Aufgabe

Es sei ein Gitter und der zugehörige komplexe Torus. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung von in kanonischer Weise isomorph zur Restklassengruppe ist, und das diese wiederum isomorph zu ist.


Für die beiden folgenden Aufgaben ziehe man Aufgabe 6.5 und Aufgabe 6.6 heran.

Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über , gegeben in kurzer Weierstraßform mit . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Das Polynom besitzt in genau eine Nullstelle.
  2. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung , , ist isomorph zu .
  3. Es ist als reelle Lie-Gruppe.
  4. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung , , ist isomorph zu für alle .


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über , gegeben in kurzer Weierstraßform mit . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Das Polynom besitzt in drei Nullstellen.
  2. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung , , ist isomorph zu .
  3. Es ist als reelle Lie-Gruppe.
  4. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung , , ist isomorph zu für alle geraden (und isomorph zu für ungerade).


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über , gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform mit und . Begünde durch eine Skizze, dass einen Halbierungspunkt besitzt und dass und keinen Halbierungspunkt besitzen.


Aufgabe *

Bestimme für die elliptische Kurve die reelle und die komplexe Torsionsuntergruppe zur Ordnung .


Aufgabe *

Bestimme für die elliptische Kurve die Torsionsuntergruppe zur Ordnung für die Körper


Aufgabe

Bestimme für die durch gegebene elliptische Kurve den kleinsten Zahlkörper , für den die Torsionsuntergruppe zur Ordnung von isomorph zu ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe, sei eine Primzahl. Zeige, dass der Tate-Modul in natürlicher Weise ein -Modul ist.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass für den Tate-Modul von die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Berechne den Tate-Modul zur Kreisgruppe .


Aufgabe

Es sei ein Gitter und der zugehörige komplexe Torus. Es sei eine Primzahl. Zeige, dass unter den natürlichen Identifizierungen

mit (vergleiche Aufgabe 17.8) die Diagramme

kommutieren, wobei oben die natürliche Restklassenabbildung zur Untergruppe steht. Man folgere, dass der Tate-Modul kanonisch isomorph zu ist.



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