Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V/2V
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V/2V
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \Z/(k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{.}
Bestimme $G/2G$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q^2
}
{ \subseteq }{ \Q_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\zusatzklammer {multiplikative} {} {}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei $\sim$ die zugehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $\Q_+$. Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist
\zusatzklammer {die $1$ erfülle diese Eigenschaft} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} \mathkor {} {(\Q,0,+)} {und} {(\Q_+,1, \cdot)} {} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\R^{\times}/ { \left( \R^{\times} \right) }^2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K^{\times}/ { \left( K^{\times} \right) }^2
}
{ \cong} { \Z/(2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{K^{\times}/ { \left( K^{\times} \right) }^2}{} unendlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_1,\mu_2,\mu_3
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { \mu_1\mu_2 + \mu_1\mu_3 + \mu_2\mu_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { -( \mu_1+\mu_2+\mu_3) w + \mu_1 \mu_2\mu_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z^2
}
{ = }{ (w + \mu_1^2) (w + \mu_2^2) (w + \mu_3^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {(X- \lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichung einer
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
$E$ in
\definitionsverweis {Zerlegungsform}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ - \lambda_i
}
{ = }{ \mu_i^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { \mu_1\mu_2 + \mu_1\mu_3 + \mu_2\mu_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { -( \mu_1+\mu_2+\mu_3) w + \mu_1 \mu_2\mu_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Verdoppelungsgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2 (w,z)
}
{ = }{ (0, \mu_1 \mu_2 \mu_3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3-X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Q$. Zeige, dass der Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(1,0)
}
{ \in }{ E(\Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[ \sqrt{2} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Halbierungspunkt bekommt. Bestimme die Koordinaten
\zusatzklammer {über $\Q[ \sqrt{2} ]$} {} {}
eines solchen Halbierungspunktes.
}
{} {}