Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 19

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik ${}0$. Zeige ${}V/2V=0$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Zeige ${}V/2V=0$.

Aufgabe

Es sei ${}G=\mathbb {Z} /(k)$ eine zyklische Gruppe. Bestimme ${}G/2G$.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} ^{2}\subseteq \mathbb {Q} _{+}$ die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei ${}\sim$ die zugehörige Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Q} _{+}$. Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die ${}1$ erfülle diese Eigenschaft).

Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ und ${}(\mathbb {Q} _{+},1,\cdot )$ nicht isomorph sind.

Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe ${}\mathbb {R} ^{\times }/{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{2}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Zeige

${}K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\cong \mathbb {Z} /(2)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Zahlkörper. Zeige, dass die Restklassengruppe ${}K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ unendlich ist.

Aufgabe *

Es seien ${}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper ${}K$. Zeige, dass

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Gleichung ${}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.

Aufgabe *

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Körper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Es gelte ${}-\lambda _{i}=\mu _{i}^{2}$. Zeige, dass mit

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Verdoppelungsgleichung ${}2(w,z)=(0,\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3})$ gilt.

Aufgabe *

Wir betrachten die durch

${}Y^{2}=X^{3}-X\,$

gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass der Punkt ${}(1,0)\in E(\mathbb {Q} )$ nach der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ einen Halbierungspunkt bekommt. Bestimme die Koordinaten (über ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$) eines solchen Halbierungspunktes.