Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer endlichen \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} $G$ jede Funktion \maabb {h} {G} { \R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {schwache Höhenfunktion}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einem \definitionsverweis {Betrag}{}{} zu einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die folgenden \definitionsverweis {Standardbeträge}{}{} von rationalen Zahlen. \aufzaehlungvier{$\betrag { 13 }_{5}$, }{$\betrag { -1 }_{16}$, }{$\betrag { { \frac{ 100 }{ 33 } } }_{2}$, }{$\betrag { { \frac{ -121 }{ 169 } } }_{13}$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 7 } }} {und} {{ \frac{ 5 }{ 13 } }} {,} wenn $\Q$ mit dem $2$-adischen \definitionsverweis {Standardbetrag}{}{} versehen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und $\betrag { - }_p$ der zugehörige
\definitionsverweis {Standardbetrag}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { p^n }_p
}
{ = }{ p^{-n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
verschiedene Primzahlen und seien
\mathkor {} {\betrag { - }_p} {und} {\betrag { - }_q} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Standardbeträge}{}{.}
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ \defeq} { \betrag { x }_p \cdot \betrag { x }_q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kein
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
auf $\Q$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und $\betrag { - }_p$ der zugehörige
\definitionsverweis {Standardbetrag}{}{.}
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $\Q$. Zeige, dass diese Folge genau dann eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
bezüglich des gegebenen Betrags ist, wenn die Folge der
$p$-\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
von $x_n$
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Konstruiere eine \definitionsverweis {Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ von \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{,} die bezüglich jedes \definitionsverweis {Standardbetrages}{}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ genau dann
\definitionsverweis {nichtarchimedisch}{}{}
ist, wenn die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f+g }
}
{ \leq} { \operatorname{max} \left( \betrag { f } ,\, \betrag { g } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\betrag { - }$ ein
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Wir setzen im
\definitionsverweis {nichtarchimedischen}{}{}
Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und im archimedischen Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f+g }
}
{ \leq} { 2^\delta \cdot \operatorname{max} \left( \betrag { f } ,\, \betrag { g } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {nichtarchimedischen Betrag}{}{} $\betrag { - }$. Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ f \in K \mid \betrag { f } \leq 1 \right\} }}{} ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Zahlkörper}{}{,}
$R$ der zugehöriger
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{,}
${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
von $R$,
\mathl{\operatorname{ord}_{ {\mathfrak p} } \, (-)}{} die zugehörige Bewertung auf $K$ und $\betrag { - }_{\mathfrak p}$ der zugehörige
\definitionsverweis {Betrag}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{\mathfrak p}
}
{ =} { { \left\{ f \in K \mid \betrag { f }_{\mathfrak p} \leq 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
zur
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap \Z
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $e$ der
\definitionsverweis {Verzweigungsindex}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z_{(p)}
}
{ \subseteq }{R_{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $f$ der
\definitionsverweis {Trägheitsgrad}{}{}
von ${\mathfrak p}$ über $(p)$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { p }_{ {\mathfrak p}, \text{ nat} }
}
{ =} { p^{-ef}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}