Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 20

Aufgaben

Aufgabe

Zeige, dass auf einer endlichen kommutativen Gruppe ${}G$ jede Funktion ${}h\colon G\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine schwache Höhenfunktion ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Körper mit einem Betrag zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe

Berechne die folgenden Standardbeträge von rationalen Zahlen.

1. ${}\vert {13}\vert _{5}$,
2. ${}\vert {-1}\vert _{16}$,
3. ${}\vert {\frac {100}{33}}\vert _{2}$,
4. ${}\vert {\frac {-121}{169}}\vert _{13}$.

Aufgabe *

Berechne den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen ${}{\frac {3}{7}}$ und ${}{\frac {5}{13}}$, wenn ${}\mathbb {Q}$ mit dem ${}2$-adischen Standardbetrag versehen ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\vert {-}\vert _{p}$ der zugehörige Standardbetrag. Zeige ${}\vert {p^{n}}\vert _{p}=p^{-n}$ für ${}n\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe *

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene Primzahlen und seien ${}\vert {-}\vert _{p}$ und ${}\vert {-}\vert _{q}$ die zugehörigen Standardbeträge. Zeige, dass durch

${}h(x):=\vert {x}\vert _{p}\cdot \vert {x}\vert _{q}\,$

kein Betrag auf ${}\mathbb {Q}$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\vert {-}\vert _{p}$ der zugehörige Standardbetrag. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass diese Folge genau dann eine Nullfolge bezüglich des gegebenen Betrags ist, wenn die Folge der ${}p$- Exponenten von ${}x_{n}$ bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist.

Aufgabe

Konstruiere eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von rationalen Zahlen, die bezüglich jedes Standardbetrages gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass ein Betrag auf einem Körper ${}K$ genau dann nichtarchimedisch ist, wenn die Abschätzung

${}\vert {f+g}\vert \leq \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\,$

für alle ${}f,g\in K$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\vert {-}\vert$ ein Betrag auf einem Körper ${}K$. Wir setzen im nichtarchimedischen Fall ${}\delta =0$ und im archimedischen Fall ${}\delta =1$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\vert {f+g}\vert \leq 2^{\delta }\cdot \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\,$

für alle ${}f,g\in K$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit einem nichtarchimedischen Betrag ${}\vert {-}\vert$. Zeige, dass ${}{\left\{f\in K\mid \vert {f}\vert \leq 1\right\}}$ ein Unterring von ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Zahlkörper, ${}R$ der zugehöriger Zahlbereich, ${}{\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von ${}R$, ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(-)$ die zugehörige Bewertung auf ${}K$ und ${}\vert {-}\vert _{\mathfrak {p}}$ der zugehörige Betrag. Zeige

${}R_{\mathfrak {p}}={\left\{f\in K\mid \vert {f}\vert _{\mathfrak {p}}\leq 1\right\}}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}R$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ und sei ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein maximales Ideal mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$. Es sei ${}e$ der Verzweigungsindex von ${}\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq R_{\mathfrak {p}}$ und ${}f$ der Trägheitsgrad von ${}{\mathfrak {p}}$ über ${}(p)$. Zeige

${}\vert {p}\vert _{{\mathfrak {p}},{\text{ nat}}}=p^{-ef}\,.$