Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Menge
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{} derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive $n$-dimensionale Raum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{V_+(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{V_+(Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Geraden in der projektiven Ebene
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} mit dem einzigen Schnittpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H \cap D
}
{ = }{ \{ (0,0,1) \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,P'
}
{ \notin }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschiedene Punkte. Finde ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_+(F) \cap D
}
{ = }{ H \cap D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ V_+(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P'
}
{ \notin }{ V_+(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ \left( b_0 , \, \ldots , \, b_n \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_ib_j -a_jb_i
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{.}
Zeige, dass es eine offene affine Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
der Dimension $n$ über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(X_i) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } , D_+(X_j)\cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ \subset} {{\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die
\zusatzklammer {nicht überall definierte} {} {}
Übergangsabbildung von $D_+(X_i)$ nach $D_+(X_j)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man definiere den Begriff \stichwort {projektiv-linearer Unterraum} {} eines projektiven Raumes ${\mathbb P}^{n}_{K}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} die
\definitionsverweis {projektive Ebene}{}{}
über $K$. Zeige, dass zwei projektive Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L,M
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {V_+(6X-8Y+3Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { V_+(2X+9Y-5Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der projektiven Ebene.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {V_+(7X-7Y+6Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { V_+(8X+Y-4Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der projektiven Ebene.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge aller Geraden in der projektiven Ebene selbst eine projektive Ebene bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
${\mathbb P}^{n}_{K}$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots ,X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein
\definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{}
ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die
\definitionsverweis {projektive Nullstellenmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(XYZ)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?
}
{Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte
\mathl{(2,3,7)}{} und
\mathl{(1,5,-2)}{.}} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathbb P}^{n}_{K}$ ein projektiver Raum der Dimension $n$ und es seien
\mathl{X,Y \subseteq {\mathbb P}^{n}_{K}}{} projektiv-lineare Unterräume der Dimension $r$ und $s$. Es sei
\mathl{r+s \geq n}{.} Zeige, dass dann
\mathl{X \cap Y \neq \emptyset}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der projektive Raum. Charakterisiere die
\definitionsverweis {homogenen Ideale}{}{}
${\mathfrak a}$, für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_+({\mathfrak a})
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${\mathbb P}^{n}_{K}$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {V { \left( X_0^2+X_1^2 + \cdots + X_n^2-1 \right) }
}
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und betrachte die Gesamtabbildung
\mathdisp {\varphi: Q \longrightarrow { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n+1 } } \setminus \{0\} \longrightarrow {\mathbb P}^{n}_{{\mathbb C}}} { , }
wobei hinten die
\definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{}
steht. Ist $\varphi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{?}
Wie verhält sich $\varphi$ zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell
\mathl{2n+1}{-}dimensionale Sphäre
\mathl{S^{2n+1} \subset \R^{2n+2} \cong {\mathbb C}^{n+1}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_m}{} eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum ${\mathbb P}^{n}_{K}$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform
\mathl{L \in K[X_0 , \ldots , X_n]}{} derart, dass all diese Punkte auf der durch $L$ definierten offenen Teilmenge $D_+(L)$ liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
der Dimension $n$ über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \left( a_0 , \, a_1 , \, \ldots , \, a_n \right)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt davon mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i,a_j
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ D_+(X_i) \cap D_+(X_j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die affinen Koordinaten des Punktes in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_+(X_i)
}
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind
\mathl{\left( { \frac{ a_0 }{ a_i } } , \, { \frac{ a_1 }{ a_i } } , \, \ldots , \, { \frac{ a_{i-1} }{ a_i } } , \, { \frac{ a_{i+1} }{ a_i } } , \, \ldots , \, { \frac{ a_n }{ a_i } } \right)}{} und die affinen Koordinaten des Punktes in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_+(X_j)
}
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind
\mathl{\left( { \frac{ a_0 }{ a_j } } , \, { \frac{ a_1 }{ a_j } } , \, \ldots , \, { \frac{ a_{j-1} }{ a_j } } , \, { \frac{ a_{j+1} }{ a_j } } , \, \ldots , \, { \frac{ a_n }{ a_j } } \right)}{.} Wir setzen den Polynomring zu $D_+(X_i)$ als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S_i
}
{ = }{K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , { \frac{ X_1 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_i } }]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {als Unterring des
\definitionsverweis {rationalen Funktionenkörpers}{}{}
\mathl{K(X_0,X_1 , \ldots , X_n )}{}} {} {}
und entsprechend den Polynomring zu $D_+(X_j)$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_j
}
{ =} { K[ { \frac{ X_0 }{ X_j } } , { \frac{ X_1 }{ X_j } } , \ldots , { \frac{ X_{j-1} }{ X_j } }, { \frac{ X_{j+1} }{ X_j } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_j } }]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an.
Zeige, dass der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
von $P$ in $D_+(X_i)$ mit dem lokalen Ring von $P$ in $D_+(X_j)$ als Unterring von
\mathl{K(X_0,X_1 , \ldots , X_n )}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der zugehörige
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1}
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \varphi \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {,}
induziert.
}{Bestimme das Urbild von
\mathl{D_+(X_i)}{} in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
}{Zeige, dass
\mathkor {} {\varphi_1} {und} {\varphi_2} {}
genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\neq 0$ ineinander überführbar sind.
}{Induziert jede lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1}
} {}
einen Morphismus
\maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} {?}
}
}
{} {}
Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem \stichwort {projektiv-linearen Koordinatenwechsel} {.} Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathdisp {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } / { \left( K^{\times} \cdot
\operatorname{Id} \cap \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) } \right) }} { }
heißt
\definitionswort {projektive spezielle lineare Gruppe}{.}
Sie wird mit
\mathdisp {\operatorname{PSL}_{ n } \! { \left( K \right) }} { }
bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{P,Q \in {\mathbb P}^{n}_{K}}{} Punkte im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ = }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1,P_2,P_3
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q_1,Q_2,Q_3
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
jeweils drei
\zusatzklammer {untereinander verschiedene} {} {}
Punkte auf der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es einen
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P_i)
}
{ = }{ Q_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(s,t)} { (t,s) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der zugehörige
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1}
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\maabbeledisp {\psi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \psi \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {,}
der zugehörige
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{.}
Zeige, dass ein Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ K^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $\varphi$ ist, wenn der zugehörige Punkt im projektiven Raum ein
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
von $\psi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb K} = \R}{} oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mathl{H \subset {\mathbb K}^{n+1}}{} ein $n$-dimensionaler
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,}
der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mathl{U \subseteq H}{} eine in
\mathl{H \cong {\mathbb K}^n}{} offene Menge
\zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {}
und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.
}
{} {}