Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 3

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Aufgaben

Aufgabe

Definiere eine Äquivalenzrelation auf der Menge derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive -dimensionale Raum ist.


Aufgabe

Es seien und Geraden in der projektiven Ebene mit dem einzigen Schnittpunkt . Es seien verschiedene Punkte. Finde ein homogenes Polynom mit , und .


Aufgabe

Es seien und Punkte im projektiven Raum über einem Körper . Zeige, dass genau dann gilt, wenn für alle gilt.


Aufgabe

Es sei ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung derart gibt, dass in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.


Aufgabe

Es sei der projektive Raum der Dimension über dem Körper und seien

zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die (nicht überall definierte) Übergangsabbildung von nach .


Aufgabe

Man definiere den Begriff projektiv-linearer Unterraum eines projektiven Raumes .


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei die projektive Ebene über . Zeige, dass zwei projektive Geraden stets einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.


Aufgabe *

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Geraden in der projektiven Ebene selbst eine projektive Ebene bilden.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der projektive Raum besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein homogenes Ideal ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.


Aufgabe

Skizziere die projektive Nullstellenmenge


Aufgabe

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte und in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte und .

Aufgabe

Es sei ein projektiver Raum der Dimension und es seien projektiv-lineare Unterräume der Dimension und . Es sei . Zeige, dass dann ist.


Aufgabe

Es sei ein unendlicher Körper und der projektive Raum. Charakterisiere die homogenen Ideale , für die ist.


Aufgabe

Sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei

und betrachte die Gesamtabbildung

wobei hinten die Kegelabbildung steht. Ist surjektiv? Wie verhält sich zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell -dimensionale Sphäre ?


Aufgabe

Sei ein unendlicher Körper und sei eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum . Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform derart, dass all diese Punkte auf der durch definierten offenen Teilmenge liegen.


Aufgabe

Es sei der projektive Raum der Dimension über dem Körper und sei ein Punkt davon mit , also . Die affinen Koordinaten des Punktes in sind und die affinen Koordinaten des Punktes in sind . Wir setzen den Polynomring zu als (als Unterring des rationalen Funktionenkörpers ) und entsprechend den Polynomring zu als

an. Zeige, dass der lokale Ring von in mit dem lokalen Ring von in als Unterring von übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der zugehörige projektive Raum. Es sei eine bijektive lineare Abbildung.

  1. Zeige, dass einen Automorphismus

    induziert.

  2. Bestimme das Urbild von in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
  3. Zeige, dass und genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind.
  4. Induziert jede lineare Abbildung einen Morphismus ?

Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem projektiv-linearen Koordinatenwechsel. Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.

Es sei ein Körper und . Die Restklassengruppe

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

bezeichnet.


Aufgabe

Es seien Punkte im projektiven Raum über einem Körper . Zeige, dass es einen Automorphismus mit gibt.


Aufgabe

Es seien und jeweils drei (untereinander verschiedene) Punkte auf der projektiven Geraden über einem Körper . Zeige, dass es einen -Automorphismus mit für gibt.


Aufgabe *

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Aufgabe

Es sei ein Körper und der zugehörige projektive Raum. Es sei eine bijektive lineare Abbildung und

der zugehörige Automorphismus. Zeige, dass ein Vektor genau dann ein Eigenvektor zu ist, wenn der zugehörige Punkt im projektiven Raum ein Fixpunkt von ist.


Aufgabe

Sei oder . Es sei ein -dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei eine in offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von . Zeige, dass der Durchschnitt von mit offen ist.



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