Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Wendepunkte}{}{}
der
\definitionsverweis {projektiven Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(YZ^2-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 3$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^3+Y^3+Z^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Bestimme die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
von $F$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der Hesse-Matrix von $F$.
}{Bestimme die Schnittpunkte von $V_+(F)$ mit der projektiven Nullstellenmenge zur Determinate der Hesse-Matrix von $F$ über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
}{Bestimme für jeden Schnittpunkt aus Teil (3) die Tangente und bestätige
Lemma 5.1.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ X^3+aXZ^2+bZ^3 -Y^2Z
}
{ \in }{ K[X,Y,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit gewissen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
zu $F$.
}{Bestimme die Hesse-Matrix von $F$ im Punkt
\mathl{(0,1,0)}{.}
}{Bestimme ein nichttriviales Element des Kernes der Hesse-Matrix von $F$ im Punkt
\mathl{(0,1,0)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein Polynom
\mathl{X^3+aX+b}{} genau dann keine mehrfachen Nullstellen
\zusatzklammer {und zwar auch nach keiner
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}} {} {}
besitzt, wenn die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathl{4a^3 + 27b^2}{} von $0$ verschieden ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom Grad $3$. Zeige, dass $F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde acht Punkte
\mathl{(x,y)}{} mit ganzzahligen Komponenten, die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ =} { x^3+17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { X^3-X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
\aufzaehlungdrei{Parametrisiere den oberen Bogen von $E(\R)$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[-1,0]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme den Punkt $P$ aus $E(\R)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[-1,0]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit der maximalen $y$-Koordinate.
}{Beschreibe eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{E(K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{ x^3 +ax+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung für eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $K$. Zeige, dass es eine lineare Transformation derart gibt, dass in der neuen Gleichung für die Kurve die Koeffizienten aus $R$ sind.
}
{} {}
Die vorstehende Aufgabe ist der Grund, warum man elliptische Kurven über $\Q$ direkt über $\Z$ realisieren kann. Es ist aber ein diffiziles Problem, was die optimale Realisierung über $\Z$ ist. Siehe die folgende Aufgabe und
Aufgabe 25.18.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die beiden affinen Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V^2 +V
}
{ =} {U^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die gleiche
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Q$ definieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{ x^3 +ax+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2
}
{ = }{ x^3 +a'x+b'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurven}{}{}
\mathkor {} {C} {und} {C'} {}
in kurzer Weierstraßform, wobei die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c^4a'
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c^6 b'
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gelte. Zeige, dass die beiden Kurven die gleiche
$j$-\definitionsverweis {Invariante}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
und die
$j$-\definitionsverweis {Invariante}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {x^3+x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
und die
$j$-\definitionsverweis {Invariante}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} {x^3+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {(-x^2+x-1)^3} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {(-2x^3+3x^2+3x-2)^2} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde eine lineare Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \alpha Y + \beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha, \beta
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass aus dem Polynom
\mathl{X^3-1}{} ein Polynom in $Y$ entsteht, das $0$ und $1$ als Nullstellen besitzt. Wie lautet die dritte Nullstelle?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F (\lambda)
}
{ =} {{ \frac{ (\lambda^2 - \lambda +1)^3 }{ \lambda^2 ( \lambda -1)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der Variablen $\lambda$.
\aufzaehlungdrei{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(1 - \lambda)
}
{ =} { F( \lambda)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F( { \frac{ 1 }{ \lambda } } )
}
{ =} { F(\lambda)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F( { \frac{ 1 }{ 1-\lambda } } )
}
{ =} { F( { \frac{ \lambda -1 }{ \lambda } } )
}
{ =} { F( { \frac{ \lambda }{ \lambda -1 } } )
}
{ =} { F(\lambda)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}