Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 5

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme die Wendepunkte der projektiven Kurve

${}V_{+}(YZ^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

über einem Körper ${}K$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 3$ und sei ${}F=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}$.

1. Bestimme die Hesse-Matrix von ${}F$.
2. Bestimme die Determinante der Hesse-Matrix von ${}F$.
3. Bestimme die Schnittpunkte von ${}V_{+}(F)$ mit der projektiven Nullstellenmenge zur Determinate der Hesse-Matrix von ${}F$ über ${}K={\mathbb {C} }$
4. Bestimme für jeden Schnittpunkt aus Teil (3) die Tangente und bestätige Lemma 5.1.

Aufgabe *

Es sei ${}F=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}-Y^{2}Z\in K[X,Y,Z]$ über einem Körper ${}K$ mit gewissen ${}a,b\in K$.

1. Bestimme die Hesse-Matrix zu ${}F$.
2. Bestimme die Hesse-Matrix von ${}F$ im Punkt ${}(0,1,0)$.
3. Bestimme ein nichttriviales Element des Kernes der Hesse-Matrix von ${}F$ im Punkt ${}(0,1,0)$.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Polynom ${}X^{3}+aX+b$ genau dann keine mehrfachen Nullstellen (und zwar auch nach keiner Körpererweiterung) besitzt, wenn die Diskriminante ${}4a^{3}+27b^{2}$ von ${}0$ verschieden ist.

Aufgabe

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$. Zeige, dass ${}F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

Aufgabe *

Finde acht Punkte ${}(x,y)$ mit ganzzahligen Komponenten, die die Bedingung

${}y^{2}=x^{3}+17\,$

erfüllen.

Aufgabe *

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-X\,$

gegeben ist.

1. Parametrisiere den oberen Bogen von ${}E(\mathbb {R} )$ für ${}x\in [-1,0]$.
2. Bestimme den Punkt ${}P$ aus ${}E(\mathbb {R} )$ mit ${}x\in [-1,0]$ und mit der maximalen ${}y$-Koordinate.
3. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass ${}P\in E(K)$ liegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und es sei ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$ die Gleichung für eine elliptische Kurve über ${}K$. Zeige, dass es eine lineare Transformation derart gibt, dass in der neuen Gleichung für die Kurve die Koeffizienten aus ${}R$ sind.

Die vorstehende Aufgabe ist der Grund, warum man elliptische Kurven über ${}\mathbb {Q}$ direkt über ${}\mathbb {Z}$ realisieren kann. Es ist aber ein diffiziles Problem, was die optimale Realisierung über ${}\mathbb {Z}$ ist. Siehe die folgende Aufgabe und Aufgabe 25.18.

Aufgabe *

Zeige, dass die beiden affinen Gleichungen

${}Y^{2}=X^{3}+16\,$

und

${}V^{2}+V=U^{3}\,$

die gleiche elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ definieren.

Aufgabe

Wir betrachten die durch ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$ bzw. ${}y^{2}=x^{3}+a'x+b'$ gegebenen elliptischen Kurven ${}C$ und ${}C'$ in kurzer Weierstraßform, wobei die Beziehung ${}c^{4}a'=a$ und ${}c^{6}b'=b$ mit einem ${}c\in K$, ${}c\neq 0$, gelte. Zeige, dass die beiden Kurven die gleiche ${}j$- Invariante besitzen.

Aufgabe

Bestimme die Diskriminante und die ${}j$- Invariante der durch die Gleichung

${}y^{2}=x^{3}+x\,$

gegebenen elliptischen Kurve.

Aufgabe

Bestimme die Diskriminante und die ${}j$- Invariante der durch die Gleichung

${}y^{2}=x^{3}+1\,$

gegebenen elliptischen Kurve.

Aufgabe *

Berechne

$(-x^{2}+x-1)^{3}.$

Aufgabe *

Berechne

$(-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}$

Aufgabe *

Finde eine lineare Substitution ${}X=\alpha Y+\beta$ mit ${}\alpha ,\beta \in {\mathbb {C} }$ derart, dass aus dem Polynom ${}X^{3}-1$ ein Polynom in ${}Y$ entsteht, das ${}0$ und ${}1$ als Nullstellen besitzt. Wie lautet die dritte Nullstelle?

Aufgabe *

Wir betrachten die rationale Funktion

${}F(\lambda )={\frac {(\lambda ^{2}-\lambda +1)^{3}}{\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}}\,$

in der Variablen ${}\lambda$.

1. Zeige

   ${}F(1-\lambda )=F(\lambda )\,.$

2. Zeige

   ${}F({\frac {1}{\lambda }})=F(\lambda )\,.$

3. Zeige

   ${}F({\frac {1}{1-\lambda }})=F({\frac {\lambda -1}{\lambda }})=F({\frac {\lambda }{\lambda -1}})=F(\lambda )\,.$