Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 5

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Aufgaben

Aufgabe

Bestimme die Wendepunkte der projektiven Kurve

über einem Körper .


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei .

  1. Bestimme die Hesse-Matrix von .
  2. Bestimme die Determinante der Hesse-Matrix von .
  3. Bestimme die Schnittpunkte von mit der projektiven Nullstellenmenge zur Determinate der Hesse-Matrix von über
  4. Bestimme für jeden Schnittpunkt aus Teil (3) die Tangente und bestätige Lemma 5.1.


Aufgabe *

Es sei über einem Körper mit gewissen .

  1. Bestimme die Hesse-Matrix zu .
  2. Bestimme die Hesse-Matrix von im Punkt .
  3. Bestimme ein nichttriviales Element des Kernes der Hesse-Matrix von im Punkt .


Aufgabe *

Zeige, dass ein Polynom genau dann keine mehrfachen Nullstellen (und zwar auch nach keiner Körpererweiterung) besitzt, wenn die Diskriminante von verschieden ist.


Aufgabe

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad . Zeige, dass entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.


Aufgabe *

Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung

gegeben ist.

  1. Parametrisiere den oberen Bogen von für .
  2. Bestimme den Punkt aus mit und mit der maximalen -Koordinate.
  3. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung derart, dass liegt.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und es sei die Gleichung für eine elliptische Kurve über . Zeige, dass es eine lineare Transformation derart gibt, dass in der neuen Gleichung für die Kurve die Koeffizienten aus sind.

Die vorstehende Aufgabe ist der Grund, warum man elliptische Kurven über direkt über realisieren kann. Es ist aber ein diffiziles Problem, was die optimale Realisierung über ist. Siehe die folgende Aufgabe und Aufgabe 24.14.

Aufgabe *

Zeige, dass die beiden affinen Gleichungen

und

die gleiche elliptische Kurve über definieren.


Aufgabe

Wir betrachten die durch bzw. gegebenen elliptischen Kurven und in kurzer Weierstraßform, wobei die Beziehung und mit einem , , gelte. Zeige, dass die beiden Kurven die gleiche -Invariante besitzen.


Aufgabe

Bestimme die Diskriminante und die -Invariante der durch die Gleichung

gegebenen elliptischen Kurve.


Aufgabe

Bestimme die Diskriminante und die -Invariante der durch die Gleichung

gegebenen elliptischen Kurve.


Aufgabe *

Berechne


Aufgabe *

Berechne


Aufgabe *

Finde eine lineare Substitution mit derart, dass aus dem Polynom ein Polynom in entsteht, das und als Nullstellen besitzt. Wie lautet die dritte Nullstelle?


Aufgabe *

Wir betrachten die rationale Funktion

in der Variablen .

  1. Zeige
  2. Zeige
  3. Zeige


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